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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:09 Fr 12.09.2008 | | Autor: | Irmchen |
Guten Tag alle zusammen!
Ich habe in der Vorlesung eine Bemerkung gefunden, zu der ich eine Frage habe.
Bemerkung:
Ideale sind genau die Kerne der Ringhomomorphismen.
Diese Behauptung kann ich sogar beweisen. Leider sehe ich hierbei nicht den tiefgründigen Sinn.. Und was ich noch nicht nachvollziehen kann, ist, warum die Bilder der Ringhomomorphismen nicht immer Ideale sind.
Ich hoffe, dass mir da jemand helfen kann!
Vielen Dank!
Viele Grüße
Irmchen
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:52 Fr 12.09.2008 | | Autor: | statler |
Hallo Irmchen!
> Ich habe in der Vorlesung eine Bemerkung gefunden, zu der
> ich eine Frage habe.
>
> Bemerkung:
>
> Ideale sind genau die Kerne der Ringhomomorphismen.
>
> Diese Behauptung kann ich sogar beweisen. Leider sehe ich
> hierbei nicht den tiefgründigen Sinn. Und was ich noch
> nicht nachvollziehen kann, ist, warum die Bilder der
> Ringhomomorphismen nicht immer Ideale sind.
Der tiefere Sinn liegt darin, daß man generell versucht, einen Überblick über die Struktur von Ringen zu erhalten. Ein Mittel dazu ist auch die Untersuchung der möglichen Abbildungen zwischen ihnen, und deren Kerne sind eben die Ideale. Wenn ich alle Ideale eines Ringes kenne, kenne ich alle seine surjektiven Bilder (cum grano salis).
In erster Näherung sortiert man die Ringe nach ihren Idealen: gar keine Ideale, nur Hauptideale, alle Ideale endlich erzeugt, alle Ideale Produkt von Primidealen, genau ein maximales Ideal,... (es gibt da viele Varianten)
Daß das Bild eines Ringes nicht immer ein Ideal ist, siehst du sofort, wenn du die Einbettung von [mm] \IZ [/mm] in [mm] \IQ [/mm] betrachtest.
Gruß aus HH-Harburg
Dieter
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:13 Fr 12.09.2008 | | Autor: | Irmchen |
Hallo Dieter!
Danke für Deinen Beitrag!
Jedoch habe ich noch nicht alles verstanden.
Zu Deiner Bemerkung:
> Daß das Bild eines Ringes nicht immer ein Ideal ist, siehst
> du sofort, wenn du die Einbettung von [mm]\IZ[/mm] in [mm]\IQ[/mm]
> betrachtest.
Also, [mm] \IQ [/mm] ist ein kommutativer Ring und [mm] \IZ [/mm] eine Teilmenge von [mm] \IQ [/mm].
Aber [mm] \IZ [/mm] ist keine Ideal bezüglich diesen Ringes.
Ich sehe hier leider nicht worauf Du hinaus möchtest ... :-(
Vielen Dank!
Viele Grüße
Irmchen
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:39 Fr 12.09.2008 | | Autor: | statler |
Hi Irmchen!
> Zu Deiner Bemerkung:
>
> > Daß das Bild eines Ringes nicht immer ein Ideal ist, siehst
> > du sofort, wenn du die Einbettung von [mm]\IZ[/mm] in [mm]\IQ[/mm]
> > betrachtest.
>
> Also, [mm]\IQ[/mm] ist ein kommutativer Ring und [mm]\IZ[/mm] eine Teilmenge
...sogar ein Unterring....
> von [mm]\IQ [/mm].
> Aber [mm]\IZ[/mm] ist kein Ideal bezüglich dieses Ringes.
>
> Ich sehe hier leider nicht worauf Du hinaus möchtest ...
> :-(
Naja, [mm] \IZ [/mm] ist das Bild von [mm] \IZ, [/mm] aber eben kein Ideal. [mm] \IQ [/mm] hat nur 2 (unechte) Ideale. Für eine solche Situation hast du doch ein Beispiel gesucht, oder?
Gruß und schönes WE
Dieter
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:50 Sa 13.09.2008 | | Autor: | Irmchen |
Hallo!
Ja , sicher  !
Vielen Dank und eine schönes Wochenende!
Viele Grüße
Irmchen
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