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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:10 Di 29.11.2016 | | Autor: | studiseb |
| Aufgabe | Welche der folgenden Mengen sind Ideale?
[mm] M_1:= \IQ \subset \IC
[/mm]
[mm] M_2:=\{a\in R |a^n=0 \mbox{ für ein } n \in \IN\}, [/mm] für einen kommutativen Ring R
[mm] M_3:= \IZ[X^2]\subset\IZ[X] [/mm] |
Moin, ich habe bei obigen Aufgaben Schwierigkeiten und vielleicht könnt Ihr mir da weiterhelfen. Insb. bei [mm] M_2 [/mm] und [mm] M_3 [/mm] kann ich mir die Mengen nicht so recht vorstellen.
Also für ein Ideal I ist zu zeigen:
(1) (I,+) ist eine Untergruppe von Ring (R,+,*)
a) 0 [mm] \in [/mm] I
b) Abgeschlossenheit
c) additiv Inverses
d) Assoziativität (brauch ich nicht zu zeigen, da geerbt aus dem Ring)
(2) a [mm] \in [/mm] I [mm] \rightarrow a*r\in [/mm] I für alle r [mm] \in [/mm] Ring
[mm] M_1 [/mm] ist kein Ideal, denn ich kann einen Widerspruch zu (2) zeigen,
z.B. sei [mm] a\in\IQ [/mm] und [mm] r\in\IC [/mm] also kann [mm] r=\sqrt2 [/mm] sein, dann gibt [mm] a*r=a*\sqrt2\notin\IQ [/mm] Kann ich das so machen?
Und wie kann ich mir die Mengen [mm] M_2 [/mm] bzw. [mm] M_3 [/mm] vorstellen bzw. die Idealaxiome zeigen?
Besten Dank für Eure Anregungen und Hilfen.
Grüße Seb
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:09 Di 29.11.2016 | | Autor: | hippias |
> Welche der folgenden Mengen sind Ideale?
>
> [mm]M_1:= \IQ \subset \IC[/mm]
>
> [mm]M_2:=\{a\in R |a^n=0 \mbox{ für ein } n \in \IN\},[/mm] für
> einen kommutativen Ring R
>
> [mm]M_3:= \IZ[X^2]\subset\IZ[X][/mm]
> Moin, ich habe bei obigen
> Aufgaben Schwierigkeiten und vielleicht könnt Ihr mir da
> weiterhelfen. Insb. bei [mm]M_2[/mm] und [mm]M_3[/mm] kann ich mir die Mengen
> nicht so recht vorstellen.
>
> Also für ein Ideal I ist zu zeigen:
> (1) (I,+) ist eine Untergruppe von Ring (R,+,*)
> a) 0 [mm]\in[/mm] I
> b) Abgeschlossenheit
> c) additiv Inverses
> d) Assoziativität (brauch ich nicht zu zeigen, da
> geerbt aus dem Ring)
> (2) a [mm]\in[/mm] I [mm]\rightarrow a*r\in[/mm] I für alle r [mm]\in[/mm] Ring
>
>
> [mm]M_1[/mm] ist kein Ideal, denn ich kann einen Widerspruch zu (2)
> zeigen,
> z.B. sei [mm]a\in\IQ[/mm] und [mm]r\in\IC[/mm] also kann [mm]r=\sqrt2[/mm] sein, dann
> gibt [mm]a*r=a*\sqrt2\notin\IQ[/mm] Kann ich das so machen?
Streng genommen, nein: denn [mm] $0\cdot \sqrt{2}\in \IQ$. [/mm] Das kriegst Du aber in Ordnung gebracht.
>
> Und wie kann ich mir die Mengen [mm]M_2[/mm] bzw. [mm]M_3[/mm] vorstellen
> bzw. die Idealaxiome zeigen?
Ebenso. Ist z.B. [mm] $a^{10}= [/mm] 0$, gibt es dann ein $n$ so dass [mm] $(ra)^{n}=0$?
[/mm]
>
> Besten Dank für Eure Anregungen und Hilfen.
> Grüße Seb
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