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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:22 So 23.10.2016 | | Autor: | noglue |
| Aufgabe | Es sei R Ring und [mm] I,J_1,..J_n\unlhd [/mm] R
Zeige
a. [mm] I:(\summe_{i=1}^{n}J_i)=\bigcap_{i=1}^{n}(I:J_i)
[/mm]
b. [mm] (\bigcap_{i=1}^{n}J_i):I= \bigcap_{i=1}^{n}(J_i:I)
[/mm]
c. [mm] \wurzel{J_1\cap...\capJ_n}= \wurzel{J_1}\cap...\cap\wurzel{J_n}
[/mm]
d. [mm] \wurzel{J_1+...+J_n}\supseteq \wurzel{J_1}+...+\wurzel{J_n} [/mm] |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt
Hallo zusammen,
ich stehe total auf dem Schlauch und hoffe ihr könnt mir einen Denkstoß geben, wie ich am Besten an diese Aufgabe herangehen soll.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 09:24 Mo 24.10.2016 | | Autor: | hippias |
Was hast Du denn schon? Es ist ja eine Mengengleichheit zu zeigen, d.h. linke Seite ist in der rechten enthalten und andersherum. Wie lauten die Definitionen?
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 16:36 Mo 24.10.2016 | | Autor: | noglue |
Wir haben folgendes nur in der VL definiert:
I,J [mm] \unlhd [/mm] R
1) [mm] I\cap [/mm] J:= [mm] \{a|a \inI, a\in I\} \unlhd [/mm] R
2) [mm] I:J:=\{a\in R |a*J \subset I\} \unlhd [/mm] R
3) [mm] \wurzel{I}:=\{a\in R| \exists n\ge 0:a^n\inI\}\unlhd [/mm] R
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:28 Mo 24.10.2016 | | Autor: | hippias |
$3$ Definitionen und $2$ davon enthalten Fehler: nicht schlecht! Ich kann meine Zeit auch anders verschwenden...
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:22 Mo 24.10.2016 | | Autor: | sinnlos123 |
Ist dies 100% aus der Vorlesung oder so "naja, abgeschireben vom tafelbild", bitte guck/denk nach b das alles so ist wies sein soll
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(Antwort) fertig | | Datum: | 01:47 Di 25.10.2016 | | Autor: | tobit09 |
Hallo noglue!
Wie hippias schon schrieb: Für die Gleichheitsaussagen ist jeweils "linke Seite ist Teilmenge der rechten Seite" und "rechte Seite ist Teilmenge der linken Seite" zu zeigen.
Um etwa "linke Seite ist Teilmenge der rechten Seite" zu zeigen, musst du nachweisen: Für alle [mm] $a\in$"linke [/mm] Seite" gilt auch [mm] $a\in$"rechte [/mm] Seite".
Sei also ein [mm] $a\in$"linke [/mm] Seite" beliebig vorgegeben.
Nachzuweisen ist dann [mm] $a\in$"rechte [/mm] Seite".
Dafür musst du jeweils wissen, was [mm] $a\in$"linker [/mm] Seite" und [mm] $a\in$"rechter [/mm] Seite" nach Definition der jeweiligen Seite bedeutet.
Ich mache diese Vorüberlegung mal für den wohl schwierigsten Fall vor, nämlich der rechten Seite bei Aufgabenteil d:
Für alle [mm] $a\in [/mm] R$ gelten die Äquivalenzen:
[mm] $a\in\sqrt{J_1}+\ldots+\sqrt{J_n}$
[/mm]
[mm] $\iff \exists a_1\in\sqrt{J_1},\ldots a_n\in\sqrt{J_n}\colon a=\sum_{i=1}^n a_i$
[/mm]
[mm] $\iff \exists a_1,\ldots,a_n\in R,\;k_1,\ldots,k_n\in\IN_0\colon a_1^{k_1}\in J_1,\ldots,a_n^{k_n}\in J_n,a=\sum_{i=1}^na_i$.
[/mm]
Viele Grüße
Tobias
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