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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:16 Mi 02.12.2009 | | Autor: | bolzen |
| Aufgabe 1 | Sei R der Restklassenring [mm] \IR[x]/p(x) [/mm] mit [mm] p(x)=x^3-1
[/mm]
Bestimme alle Ideale von R. |
| Aufgabe 2 | | Welche Ideale sind Primideale, welche maximal? |
In [mm] \IR [/mm] gibt es nur das Nullideal und den kompletten Raum.
Ich habe mir überlegt, dass alle Elemente von R die Form
[mm] ax^2+bx+c [/mm] mit [mm] a,b,c\in \IR [/mm] haben.
Zwar gibt es in R Elemente, die (I2) erfüllen:
r [mm] \in [/mm] R und s [mm] \in [/mm] I => [mm] r*s\in [/mm] I [mm] s*r\in [/mm] I
zB [mm] ax^2+bx+c [/mm] mit a,b,c [mm] \in\IR/\{0\}
[/mm]
Allerdings erfüllen die Elemente nicht (I1):
[mm] u,v\in [/mm] I => [mm] u-v\in [/mm] I
Daher glaube ich, dass die einzigen Ideale in R das Nullideal und der komplette Raum sind. Das kann aber nicht sein, weil es noch Aufgabe 2 gibt und die somit unsinnig wär.
Wie kann ich andere Ideale finden außer ausprobieren? Gibts noch Andere? Wie sehen die aus?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:30 Mi 02.12.2009 | | Autor: | felixf |
Hallo!
> Sei R der Restklassenring [mm]\IR[x]/p(x)[/mm] mit [mm]p(x)=x^3-1[/mm]
Faktorisiere doch mal $p(x)$ ueber [mm] $\IR$. [/mm] Was kommt raus?
> Bestimme alle Ideale von R.
> Welche Ideale sind Primideale, welche maximal?
>
> In [mm]\IR[/mm] gibt es nur das Nullideal und den kompletten Raum.
Ja.
> Ich habe mir überlegt, dass alle Elemente von R die Form
> [mm]ax^2+bx+c[/mm] mit [mm]a,b,c\in \IR[/mm] haben.
Ja.
> Zwar gibt es in R Elemente, die (I2) erfüllen:
> r [mm]\in[/mm] R und s [mm]\in[/mm] I => [mm]r*s\in[/mm] I [mm]s*r\in[/mm] I
> zB [mm]ax^2+bx+c[/mm] mit a,b,c [mm]\in\IR/\{0\}[/mm]
> Allerdings erfüllen die Elemente nicht (I1):
> [mm]u,v\in[/mm] I => [mm]u-v\in[/mm] I
Was willst du damit sagen? Was soll $I$ sein?
> Daher glaube ich, dass die einzigen Ideale in R das
> Nullideal und der komplette Raum sind. Das kann aber nicht
> sein, weil es noch Aufgabe 2 gibt und die somit unsinnig
> wär.
Das ist auch nicht der Fall. Bestimmte die Faktorisierung von $p$ und wende den chinesischen Restsatz an.
Und beachte folgendes: im Ring $R [mm] \times [/mm] S$ sind die Ideale von der Form [mm] $I_1 \times I_2$ [/mm] mit [mm] $I_1$ [/mm] Ideal in $R$ und [mm] $I_2$ [/mm] Ideal in $S$. Wann ist ein solches Ideal [mm] $I_1 \times I_2$ [/mm] prim, wann maximal?
LG Felix
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:53 Fr 04.12.2009 | | Autor: | bolzen |
Die Faktorisierung von p über den reellen Zahlen ist:
[mm] x^3-1=(x-1)(x^2+x+1)
[/mm]
Aber wie hilft mir das weiter? Den chinesischen Restsatz kann ich nicht anwenden, ich hab doch gar keinen Rest.
Sind jetzt x-1 und [mm] x^2+x+1 [/mm] die erzeugenden Elemente
der Ideale?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:53 Fr 04.12.2009 | | Autor: | statler |
Mahlzeit!
> Die Faktorisierung von p über den reellen Zahlen ist:
> [mm]x^3-1=(x-1)(x^2+x+1)[/mm]
Korrekt!
> Aber wie hilft mir das weiter? Den chinesischen Restsatz
> kann ich nicht anwenden, ich hab doch gar keinen Rest.
Eine Folge des Chin. Restsatzes ist z. B., daß Z/(15) [mm] \cong [/mm] Z/(3) x Z/(5). Vielleicht kannst du das auf einen Polynomring übertragen.
Gruß aus HH-Harburg
Dieter
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:17 Fr 04.12.2009 | | Autor: | bolzen |
Vielen Dank schonmal, ich bin schon ein ganzes Stück weitergekommen.
Allerdings bin ich nun noch mehr davon überzeugt, dass in [mm] \IR[x]/p(x) [/mm] nur der volle Raum und das Nullideal Ideale sind, denn:
[mm] \IR[x]/p(x)=\IR[x]/(x-1)\times\IR[x]/(x^2+x+1)
[/mm]
Also gilt das auch für die Ideale.
Aber für den ersten Raum gilt:
[mm] \IR[x]/(x-1)=\{a mit a\in\IR\}, [/mm]
also die reellen Zahlen und da gibt es kein weiteres Ideal.
Für den zweiten gilt:
[mm] \IR[x]/(x^2+x+1)=\{ax+b mit a,b\in\IR\},
[/mm]
und der gleichen Begründung wie in meiner Anfangsfrage, dass es keine weiteren Ideale gibt, außer Nullideal und vollen Raum.
Also gibt es auch insgesamt nur Nullideal und vollen Raum.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:57 Fr 04.12.2009 | | Autor: | statler |
Hi!
> Vielen Dank schonmal, ich bin schon ein ganzes Stück
> weitergekommen.
Da nich für!
> Allerdings bin ich nun noch mehr davon überzeugt, dass in
> [mm]\IR[x]/p(x)[/mm] nur der volle Raum und das Nullideal Ideale
> sind, denn:
> [mm]\IR[x]/p(x)=\IR[x]/(x-1)\times\IR[x]/(x^2+x+1)[/mm]
So weit, so gut.
> Also gilt das auch für die Ideale.
> Aber für den ersten Raum gilt:
> [mm]\IR[x]/(x-1)=\{a mit a\in\IR\},[/mm]
> also die reellen Zahlen und da gibt es kein weiteres
> Ideal.
Immer noch OK.
> Für den zweiten gilt:
> [mm]\IR[x]/(x^2+x+1)=\{ax+b mit a,b\in\IR\},[/mm]
Und was ist das als Ring?
> und der gleichen
> Begründung wie in meiner Anfangsfrage, dass es keine
> weiteren Ideale gibt, außer Nullideal und vollen Raum.
>
> Also gibt es auch insgesamt nur Nullideal und vollen Raum.
Außerdem gibt in A x B mindestens die Ideale A x B, 0 x B, A x 0 und 0 x 0 (in lässiger, aber verständlicher Schreibweise).
Nun denk neu nach (bitte).
Gruß
Dieter
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