Ideal Kreuzprodukt < Gruppe, Ring, Körper < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:50 Sa 07.07.2012 | | Autor: | diab91 |
| Aufgabe | | Seien R,S kommutative Ringe. Beweisen Sie, dass die Ideale des kartesischen Produktes genau die Produkte IxJ sind, wobei I ein Ideal von R und J ein Ideal von S ist. |
Guten Abend,
ich habe folgendes versucht:
Sei K ein beliebiges Ideal von RxS. Dann gilt:
1. (0,0) [mm] \in [/mm] K
2. [mm] \forall [/mm] (x,y),(x',y') [mm] \in [/mm] K: (x+x',y+y') [mm] \in [/mm] K
3. Sei (x,y) [mm] \in [/mm] K und (m,n) [mm] \in [/mm] RxS: (x*m,y*n) [mm] \in [/mm] K.
Da K [mm] \subseteq [/mm] RxS gelten für die erste Komponente von K die Axiome eines Ideals in R und in der zweiten die Axiome eines Ideals in S.
Damit wäre die Aufgabe doch bereits erledigt oder täusche ich mich da?
Schönen Gruß,
Diab91
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:55 Sa 07.07.2012 | | Autor: | hippias |
Du hast sozusagen nur die eine Inklusion bewiesen.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:59 Sa 07.07.2012 | | Autor: | diab91 |
Moin,
Ok, ja. Aber wenn ich mir ein Ideal I von R und ein Ideal J von S wähle und das Kreuzprodukt davon betrachte, so gelten doch ebenfalls direkt die Ideal Axiome in RxS. Oder übersehe ich da was?
Schönen Gruß,
Diab91
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:29 Sa 07.07.2012 | | Autor: | fred97 |
> Moin,
>
> Ok, ja. Aber wenn ich mir ein Ideal I von R und ein Ideal J
> von S wähle und das Kreuzprodukt davon betrachte, so
> gelten doch ebenfalls direkt die Ideal Axiome in RxS. Oder
> übersehe ich da was?
Sicherlich sollst auch das sauber niederschreiben
FRED
>
> Schönen Gruß,
> Diab91
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:33 Sa 07.07.2012 | | Autor: | fred97 |
> Seien R,S kommutative Ringe. Beweisen Sie, dass die Ideale
> des kartesischen Produktes genau die Produkte IxJ sind,
> wobei I ein Ideal von R und J ein Ideal von S ist.
> Guten Abend,
>
> ich habe folgendes versucht:
>
> Sei K ein beliebiges Ideal von RxS. Dann gilt:
> 1. (0,0) [mm]\in[/mm] K
> 2. [mm]\forall[/mm] (x,y),(x',y') [mm]\in[/mm] K: (x+x',y+y') [mm]\in[/mm] K
> 3. Sei (x,y) [mm]\in[/mm] K und (m,n) [mm]\in[/mm] RxS: (x*m,y*n) [mm]\in[/mm] K.
>
> Da K [mm]\subseteq[/mm] RxS gelten für die erste Komponente von K
> die Axiome eines Ideals in R und in der zweiten die Axiome
> eines Ideals in S.
Damit würde ich mich nicht begnügen !
Setze I= [mm] \{x \in R: \exists y \in S :(x,y) \in K \}
[/mm]
und J= [mm] \{y \in S: \exists x \in R :(x,y) \in K \}
[/mm]
und zeige, dass I ein Ideal in R und J ein Ideal in S ist
>
> Damit wäre die Aufgabe doch bereits erledigt oder täusche
> ich mich da?
Und die Umkehrung ?
FRED
>
> Schönen Gruß,
> Diab91
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