Ideal < Sonstiges < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) überfällig  | | Datum: | 02:43 So 28.04.2013 | | Autor: | MrPan |
| Aufgabe | a) Zeigen Sie, [mm] I_a=\{ra | r \in \IR \} [/mm] ist das kleinste Hauptideal, das a enthält.
b) Sei komm. R ein Ring und I, J ideale. Zeigen sie I+J ist das kleinste Ideal was I und J enthält |
Hallo,
als Ansatz hab ich zur a)
Sei L das kleinste Hauptideal das a enthält so gilt 0 [mm] \in [/mm] I, a [mm] \in [/mm] I, r*a [mm] \in [/mm] I
es gilt 0*a=0 und für x,y [mm] \in [/mm] I, x+y=r*a+r'*a=(r+r')*a mit r+r' [mm] \in [/mm] R, da R ist Ring, somit ist L das kleinste Hauptideal das a enthält, [mm] L=I_a
[/mm]
b) 0+0=0 [mm] \in [/mm] I+J, für i,k [mm] \in [/mm] I und j,l in J gilt [mm] i+j+l+k\overbrace{=}^{da R kommutativ}\underbrace{k+i}_{\in I}+\underbrace{j+l}_{\in J} \in [/mm] I+J
Sei r [mm] \in [/mm] R und i+j [mm] \in [/mm] I+J so gilt r*(i+j)=r*i+r*j [mm] \in [/mm] I+J
Hab ich damit aber schon gezeigt dass es das kleineste Ideal ist? Wenn ich jetzt zeigen will dass mindestens ein Element nicht drin zu sein braucht:
Sei r [mm] \in [/mm] R fest so dass, r*(i+j) [mm] \notin [/mm] I+J, demnach ist r*i+r*j [mm] \notin [/mm] R
Wiederspruch da r*i [mm] \in [/mm] I bzw. r*j [mm] \in [/mm] J und somit in I+J enhaltnen sein muss.
Stimmt meine Argumentation so weit? In der Literatur habe ich wenig zu "kleineste" Ideale gefunden. Merci!
Mfg
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 02:48 So 28.04.2013 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> a) Zeigen Sie, [mm]I_a=\{ra | r \in \IR \}[/mm] ist das kleinste
> Hauptideal, das a enthält.
Du meinst [mm] $R\,$ [/mm] anstatt [mm] $\IR\,,$ [/mm] oder?
> b) Sei komm. R ein Ring und I, J ideale. Zeigen sie I+J ist
> das kleinste Ideal was I und J enthält
> Hallo,
>
> als Ansatz hab ich zur a)
>
> Sei L das kleinste Hauptideal das a enthält so gilt 0 [mm]\in[/mm]
> I, a [mm]\in[/mm] I, r*a [mm]\in[/mm] I
>
> es gilt 0*a=0 und für x,y [mm]\in[/mm] I, x+y=r*a+r'*a=(r+r')*a mit
> r+r' [mm]\in[/mm] R, da R ist Ring, somit ist L das kleinste
> Hauptideal das a enthält, [mm]L=I_a[/mm]
>
> b) 0+0=0 [mm]\in[/mm] I+J, für i,k [mm]\in[/mm] I und j,l in J gilt
> [mm]i+j+l+k\overbrace{=}^{da R kommutativ}\underbrace{k+i}_{\in I}+\underbrace{j+l}_{\in J} \in[/mm]
> I+J
> Sei r [mm]\in[/mm] R und i+j [mm]\in[/mm] I+J so gilt r*(i+j)=r*i+r*j [mm]\in[/mm]
> I+J
> Hab ich damit aber schon gezeigt dass es das kleineste
> Ideal ist? Wenn ich jetzt zeigen will dass mindestens ein
> Element nicht drin zu sein braucht:
> Sei r [mm]\in[/mm] R fest so dass, r*(i+j) [mm]\notin[/mm] I+J, demnach ist
> r*i+r*j [mm]\notin[/mm] R
> Wiederspruch da r*i [mm]\in[/mm] I bzw. r*j [mm]\in[/mm] J und somit in I+J
> enhaltnen sein muss.
>
> Stimmt meine Argumentation so weit? In der Literatur habe
> ich wenig zu "kleineste" Ideale gefunden. Merci!
Das ist mir nun zu spät, für drüberzugucken, aber ich kann Dir den Begriff
ein wenig formaler erklären:
Dass [mm] $I_a\,$ [/mm] "das kleinste Hauptideal ist, dass [mm] $a\,$ [/mm] enthält" bedeutet:
1. [mm] $I_a$ [/mm] ist ein Hauptideal mit $a [mm] \in I_a\,.$
[/mm]
2. Ist [mm] $J\,$ [/mm] ein weiteres Hauptideal mit $a [mm] \in J\,,$ [/mm] so folgt schon [mm] $I_a \subseteq J\,.$
[/mm]
Diese beiden Dinge sind dann bei a) zu beweisen!
Übrigens: ![[]](/images/popup.gif) Algebra; Mayberg, Karpfinger, 14.2.1
Du kannst die Aufgabe auch so angehen: Du definierst erstmal
[mm] $$L:=\bigcap_{\substack{J \text{ ist Ideal}\\a \in J}}J\,.$$
[/mm]
Dann ist klar - beachte, dass der Schnitt über (beliebig viele) Ideale wieder
ein Ideal ist - dass [mm] $L\,$ [/mm] ein Ideal ist mit $a [mm] \in L\,.$ [/mm] Nun beweist Du, dass [mm] $I_a$ [/mm] ein Hauptideal
ist mit $a [mm] \in I_a\,,$ [/mm] daraus folgt sofort $L [mm] \subseteq I_a\,,$ [/mm] weil ein Hauptideal ja insbesondere
ein Ideal ist. Nun beweise noch [mm] $I_a \subseteq [/mm] L$. (D.h., hier wäre dann zu zeigen, dass
für jedes IDEAL [mm] $\tilde{J}$ [/mm] mit $a [mm] \in \tilde{J}$ [/mm] schon [mm] $I_a \subseteq \tilde{J}$ [/mm] folgt.)
Gruß,
Marcel
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 03:20 Di 30.04.2013 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
|
|
|
|
