\IR^{d} \to \IR < Stetigkeit < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe 1 | Sei [mm] \emptyset \not= [/mm] M [mm] \subset \IR^{´d}, [/mm] und sei
f: [mm] \IR^{d} \to \IR, [/mm] f(x) = [mm] inf\{\parallel x - y \parallel : y \in M\}.
[/mm]
Zeigen Sie, dass f stetig ist. |
| Aufgabe 2 | Die Funktion f: [mm] \IR^{2} \to \IR [/mm] , [mm] f(x_{1},x_{2}) [/mm] = [mm] x_{1}x_{2}, [/mm] ist laut Vorlesung stetig. Bestimmen Sie explizit zu [mm] \varepsilon [/mm] > 0 ein [mm] \delta [/mm] > 0 mit
[mm] \parallel(x_{1},x_{2}) [/mm] - (1,2) [mm] \parallel [/mm] < [mm] \delta \Rightarrow |f(x_{1},x_{2}) [/mm] - f(1,2)| < [mm] \varepsilon [/mm] |
Guten Abend,
also ich stehe ziemlich auf dem Schlauch. Zunächst die Norm ist hier die euklidische Norm. Auf dem Zettel ist ebenfalls eine Aufgabe in der die umgekehrte Dreiecksungleichung bewiesen werden soll und gezeigt werden soll, dass f: [mm] \IR \to \IR, [/mm] f(x) = [mm] \parallel [/mm] x [mm] \parallel [/mm] stetig ist. Das ist mir soweit gelungen. Unter Umständen kann/soll/muss man das für die beiden anderen Aufgaben verwenden.
Nun, zu meinen Lösungsansätzen.
Aufgabe 1:
Ich habe mir das [mm] \delta [/mm] - [mm] \varepsilon [/mm] Kriterium angeschaut und festgestellt, dass man bei einer Fallunterscheidung bezüglich x [mm] \in [/mm] M leichtes Spiel hat für alle x, [mm] x_{0} [/mm] die in M liegen, da dann immer 0 rauskommt, was immer kleiner [mm] \varepsilon [/mm] ist. Also kann ich annehmen, dass zumindestens entweder x oder [mm] x_{0} [/mm] nicht in M liegt. Aber dann hänge ich. Ich habe das Gefühl, dass ich dadurch überhaupt nichts gewonnen habe. Leider kann ich keine konkrete Fragestellung formulieren, da mir jeglicher Ansatz fehlt. Für ein paar Hinweise bezüglich, was ich mir mal anschauen sollte oder versuchen sollte wäre ich sehr dankbar.
Aufgabe 2:
Auch hier stehe ich ziemlich auf dem Schlauch. Ich habe ein wenig rumgerechnet und bin zu dem Ergebnis gekommen, dass ich also folgendes tun soll. Ich soll aus:
[mm] \wurzel{(x_{1}-1)^{2} + (x_{2}-2)^{2}} [/mm] < [mm] \delta
[/mm]
folgern soll, dass
[mm] |x_{1}x_{2}-2| [/mm] < [mm] \varepsilon
[/mm]
Aber ich habe nicht ansatzweise eine Idee welches [mm] \vardelta [/mm] das tun könnte. Ich sollte dazu sagen, dass mir Analysis überhaupt nicht liegt und größtenteils für mich vom Himmel fällt. Ich möchte eigentlich nicht, dass ihr mir das [mm] \vardelta [/mm] einfach verratet, aber wenn ihr mir eine Hilfestellung geben könntet, wie ich es finden bzw. sehen kann, wäre ich sehr dankbar.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Vielen Dank schonmal für eure Hilfe
Marsmongo
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:51 Mi 19.01.2011 | | Autor: | pelzig |
a) Es ist nach der Dreiecksungleichung [mm]\inf_{y\in M}\|x_1-y|\le\|x_1-x_2\|+\inf_{y\in M}\|x_2-y\|[/mm] für alle [mm]x_1,x_2[/mm]. Damit folgt [mm]\pm(f(x_1)-f(x_2))\le\|x_1-x_2\|[/mm], woraus unmittelbar die Stetigkeit folgt.
b) Wenn ihr den Beweis in der Vorlesung mit [mm]\varepsilon-\delta[/mm]-Kriterium gemacht habt, dann musst du doch nur schauen wie dort das [mm]\delta=\delta(\varepsilon)[/mm] lautet.
Gruß, Robert
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Oh mein Gott! Das fällt nicht mal so sehr vom Himmel. Das kann ich mir sogar anschaulich vorstellen, so wie du es schreibst! Also wähle [mm] \delta [/mm] = [mm] \varepsilon [/mm] und fertig. Vielen Dank dafür! Ich habe mich viel zu sehr verstrickt und dann nicht mehr durchgesehen!
zu b) Nun, in dem Fall heißt "laut Vorlesung" etwa: "Ohne Beweis ist f stetig. Das werden sie sich in den Übungen näher anschauen!" Ich probiere gerade noch Fallunterscheidungen für [mm] x_{1} [/mm] und [mm] x_{2}. [/mm] Das sieht erstaunlich gut aus. Ich hoffe, dass es klappt.
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 22:13 Mi 19.01.2011 | | Autor: | pelzig |
Wenn du die Stetigkeit von [mm]f(x,y)=xy[/mm] im Punkt [mm](x_0,y_0)\in\IR^2[/mm] zeigen willst, machst du folgenden Trick:[mm]\begin{aligned}|x_0y_0-xy|&=|x_0y_0-x_0y+x_0y-xy|\le|x_0||y_0-y|+|y||x_0-x|\\
&\le|x_0||y_0-y|+(|y_0|+|y-y_0|)|x_0-x|\end{aligned}[/mm]
Und die rechte Seite geht gegen [mm]0[/mm] wenn [mm](x,y)[/mm] gegen [mm](x_0,y_0)[/mm] geht.
Gruß, Robert
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 23:31 Mi 19.01.2011 | | Autor: | Marsmongo |
Vielen vielen Dank, jetzt kann ich endlich schlafen gehen, wo ich doch um 4:00 aufstehen muss! Habe jetzt bei b) folgende Lösung finden können:
Wähle [mm] \delta [/mm] = [mm] wurzel{\varepsilon + 2,25} [/mm] - 1,5
[mm] |x_{1}x_{2} [/mm] -2| [mm] \le |(\delta+1)(\delta+2)-2| \le \varepsilon
[/mm]
Nochmal vielen vielen Dank!
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