\IF_{2} Vektorraum < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Sei M eine Menge und V das System aller Teilmengen M, d.h. $V= [mm] \{X | X \subseteq M\}$. [/mm] Wir definieren auf V eine Addition, die sog. symmetrische Differenz, $X+Y= (X [mm] \cup Y)\backslash [/mm] (X [mm] \cap [/mm] Y)= [mm] (X\backslash Y)\cup(Y\backslash [/mm] X)$. Weiterhin gilt: X+Y= Y+X(X+Y)+Z= X+(Y+Z). Sei [mm] $\IF_{2} [/mm] = [mm] \{0,1\}$ [/mm] der zweielementige Körper. Definieren Sie =0*X und 1*X so, dass V mit der gegebenen Addition zum [mm] $\IF_{2}$ [/mm] Vektorraum wird.- Nachrechnen der Axiome ist nicht gefragt.
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Hallo ich habe ein Problem mit dieser Aufgabe ich weiß zwar welche Axiome ein Vektorraum erfüllen muss, jedoch weiß ich nicht wie ich an diese Aufgabe rangehen muss. Kann mir jemand helfen?
Liebe Grüße Tanja
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Gruß!
Naja, jede abelsche Gruppe ist ein Vektorraum über [mm] $\IF_2$. [/mm]  Insofern gibt es bei dieser Aufgabe ja gar nicht viel zu überlegen.
Warum das so ist? Nun, wenn $G$ eine abelsche Gruppe ist (mit Verknüpfung +), dann definiert man als Skalarmultiplikation für alle Elemente $g [mm] \in [/mm] G$ einfach:
$0 [mm] \cdot [/mm] g = [mm] 0_G$ [/mm] und $1 [mm] \cdot [/mm] g = g$.
Dabei ist [mm] $0_G$ [/mm] das neutrale Element in der Gruppe. Die Veträglichkeit mit dem ganzen Rest folgt sofort.
Der Clou ist einfach, dass es in [mm] $\IF_2$ [/mm] nur die Skalare 0 und 1 gibt - und was die mit Vektoren machen ist klar, Skalarmultiplikation mit 0 liefert den Nullvektor und Skalarmultiplikation mit 1 liefert den Vektor zurück.
Insofern musst Du nur wissen, dass die leere Menge das neutrale Element bzgl. Deiner Verknüofung (symmetrische Differenz) ist, dann folgt als Definition:
$0 [mm] \cdot [/mm] X := [mm] \emptyset$ [/mm] und $1 [mm] \cdot [/mm] X := X$
Und mehr ist nicht zu tun! 
Lars
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:32 Mo 24.07.2006 | | Autor: | felixf |
Hoi Lars!
> Naja, jede abelsche Gruppe ist ein Vektorraum über [mm]\IF_2[/mm].
>
Das stimmt so nicht! Die wenigsten abelschen Gruppen sind [mm] $\IF_2$-Vektorraeume: [/mm] fast immer scheitert es daran, dass in der Gruppe nicht $g + g = [mm] 0_G$ [/mm] fuer jedes $g [mm] \in [/mm] G$ gilt, was nach dem Distributivgesetz fuer Vektorraeume jedoch gelten muesste... (mit [mm] $0_G$ [/mm] bezeichne ich das neutrale Element in der Gruppe $G$.)
(Um genau zu sein, eine abelsche Gruppe ist genau dann ein [mm] $\IF_2$-Modul, [/mm] wenn $g + g = [mm] 0_G$ [/mm] gilt fuer alle $g [mm] \in [/mm] G$.)
(Dagegen ist jede abelsche Gruppe ein [mm] $\IZ$-Modul [/mm] (sozusagen ein [mm] $\IZ$-Vektorraum): [/mm] da hat man dieses Problem naemlich grade nicht...)
Bei der Verknuepfung hier (symmetrische Differenz) ist jedoch die Bedingung gerade erfuellt, insofern ists kein Problem...
LG Felix
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Hallo also ich habe jetzt noch eine Frage zu einer weiteren Teilaufgabe dieser Aufgabe. Und zwar lautet diese: Geben sie für den Fall, dass M endlich ist eine Basis von V an. Begründung?
Wie soll ich diese Aufgabe lösen? Ich habe leider keinen blassen Schimmer.
Liebe Grüße
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:47 Mo 24.07.2006 | | Autor: | SEcki |
> Wie soll ich diese Aufgabe lösen? Ich habe leider keinen
> blassen Schimmer.
Also du musst blos die Skalarmultiplikation definieren. Was [m]1*X[/m]ist, ist nach den VR-Axiomen klar, was [m]0*X[/m] ist, auch (das neutrale Element der Addition - was könnte das denn sein?). Damit hast du alle Abbildungen definiert.
SEcki
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hi ich meinte wie ich die aufgabe mit der basis bestimmung lösen soll.?die andere hab ich verstanden.
lg
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 10:15 Di 25.07.2006 | | Autor: | statler |
Hallo Tanja,
die Potenzmenge hat ja [mm] 2^{n} [/mm] Elemente und [mm] \IF_{2} [/mm] hat 2 Elem., eine Basis muß also die Länge n haben.
Jetzt mit etwas raten: Welche n Elemente in Pot(M) sind irgendwie ausgezeichnet und könnten eine Basis ergeben?
Und dann das Geratene beweisen, klar!
Gruß aus HH-Harburg
Dieter
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 10:20 Do 27.07.2006 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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