Hypothesentest - W'keit Ablehn < math. Statistik < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 06:52 Mo 17.04.2017 | | Autor: | ChopSuey |
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
| Aufgabe | In einem Betrieb werden zylinderförmige Aluminiumbolzen hergestellt, deren Durchmesser (in mm) durch unabhängige $ N(\mu, \sigma^2)$-verteilte Zufallsvariablen mit $ \sigma^2 = 1.21 mm^2 $ beschrieben werden können. Aufgrund einer Stichprobe vom Umfang 16 soll die Nullhypothese $ H_0 : \mu = 20$ gegen die Alternative $ \mu < 20$ auf dem Niveau $ 10$% getestet werden. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit für eine Ablehnung der Nullhypothese, wenn tatsächlich gilt
a) $ \mu = 19.6 $ mm
b) $ \mu = 20.1 $ mm |
Hallo,
bei obiger Aufgabe bräuchte ich Hilfe. Zunächst handelt es sich bei der Hypothese $ H_0$ doch um einen gewöhnlichen (zweiseitigen) Gaußtest. Die Hypothese $ H_0$ wird dementsprechend abgelehnt, wenn für die Testgröße
$ T(X_1,...,X_{16}) = \frac{\sqrt{n}}{\sigma}(\overline{X}_{16} - \mu_0)$
gilt, dass
$ \vert T(X_1,...,X_{16}) \vert > u_{1-\frac{a}{2}} $ wobei $u_{1-\frac{a}{2}}$ das $ u_p$ Quantil der $ N(0,1)$ Verteilung ist.
Für das Niveau $ a = 0.1$ ist dann $ u_p = u_{0.95} = 1.645$
Also suche ich die Wahrscheinlichkeit dafür, dass
$P( \vert T(X_1,...,X_{16}) \vert > 1.645) $
Stimmen meine Überlegungen denn soweit?
Ich habe folgendermaßen weitergemacht:
Die Zufallsvariable $ Z = \frac{\sqrt{n}}{\sigma}(\overline{X}_{16} - \mu_0)$ ist $ N\left(\frac{\sqrt{n}}{\sigma}(\mu - \mu_0), 1\right) $ verteilt.
Also ist
$P( \vert T(X_1,...,X_{16}) \vert > 1.645) = P\left( \left\vert \frac{\sqrt{n}}{\sigma}(\overline{X}_{16} - \mu_0) \right\vert > 1.645\right) = P( \vert Z \vert > 1.645) = P( -1.645 < Z < 1.645) = \phi\left(1.645 - \frac{\mu - \mu_0}{\sqrt{n}}\right) - \phi\left(-1.645 - \frac{\mu - \mu_0}{\sqrt{n}\right) = \phi\left(1.645 - \frac{\mu - 20}{\sqrt{1.21}}\right) -\phi\left(-1.645 - \frac{\mu - 20}{\sqrt{1.21}}\right) $
Dann entsprechend die Ergebnisse für $ \mu = 19.6$ und $ \mu = 20.1$ aus der Tabelle entnommen.
Aber leider wird in der Lösung anders gearbeitet und auch die Ergebnisse sind entsprechend andere. Kann mir jemand sagen, wo ich den Fehler mache?
Freue mich über jede Hilfe!
Vielen Dank
LG,
Chopsuey
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Hallo,
soweit ich es überblicke, sind deine Überlegungen grundsätzlich in Ordnung. Allerdings wird in der Aufgabenstellung mit der Alternative [mm]\mu < 20[/mm] ein einseitiger Test betrachtet.
> In einem Betrieb werden zylinderförmige Aluminiumbolzen
> hergestellt, deren Durchmesser (in mm) durch unabhängige
> [mm]N(\mu, \sigma^2)[/mm]-verteilte Zufallsvariablen mit [mm]\sigma^2 = 1.21 mm^2[/mm]
> beschrieben werden können. Aufgrund einer Stichprobe vom
> Umfang 16 soll die Nullhypothese [mm]H_0 : \mu = 20[/mm] gegen die
> Alternative [mm]\mu < 20[/mm] auf dem Niveau [mm]10[/mm]% getestet werden.
> Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit für eine Ablehnung
> der Nullhypothese, wenn tatsächlich gilt
>
> a) [mm]\mu = 19.6[/mm] mm
> b) [mm]\mu = 20.1[/mm] mm
>
>
> Hallo,
>
> bei obiger Aufgabe bräuchte ich Hilfe. Zunächst handelt
> es sich bei der Hypothese [mm]H_0[/mm] doch um einen gewöhnlichen
> (zweiseitigen) Gaußtest. Die Hypothese [mm]H_0[/mm] wird
> dementsprechend abgelehnt, wenn für die Testgröße
>
> [mm]T(X_1,...,X_{16}) = \frac{\sqrt{n}}{\sigma}(\overline{X}_{16} - \mu_0)[/mm]
>
> gilt, dass
>
> [mm]\vert T(X_1,...,X_{16}) \vert > u_{1-\frac{a}{2}}[/mm] wobei
> [mm]u_{1-\frac{a}{2}}[/mm] das [mm]u_p[/mm] Quantil der [mm]N(0,1)[/mm] Verteilung
> ist.
>
> Für das Niveau [mm]a = 0.1[/mm] ist dann [mm]u_p = u_{0.95} = 1.645[/mm]
>
> Also suche ich die Wahrscheinlichkeit dafür, dass
>
> [mm]P( \vert T(X_1,...,X_{16}) \vert > 1.645)[/mm]
Gefragt wäre hier
[mm]P( T(X_1,...,X_{16}) < -u_{0.9})[/mm]
und damit müsste entsprechend weitergerechnet werden.
>
> Stimmen meine Überlegungen denn soweit?
>
> Ich habe folgendermaßen weitergemacht:
>
> Die Zufallsvariable [mm]Z = \frac{\sqrt{n}}{\sigma}(\overline{X}_{16} - \mu_0)[/mm]
> ist [mm]N\left(\frac{\sqrt{n}}{\sigma}(\mu - \mu_0), 1\right)[/mm]
> verteilt.
>
> Also ist
>
> [mm]P( \vert T(X_1,...,X_{16}) \vert > 1.645) = P\left( \left\vert \frac{\sqrt{n}}{\sigma}(\overline{X}_{16} - \mu_0) \right\vert > 1.645\right) = P( \vert Z \vert > 1.645) = P( -1.645 < Z < 1.645) = \phi\left(1.645 - \frac{\mu - \mu_0}{\sqrt{n}}\right) - \phi\left(-1.645 - \frac{\mu - \mu_0}{\sqrt{n}\right) = \phi\left(1.645 - \frac{\mu - 20}{\sqrt{1.21}}\right) -\phi\left(-1.645 - \frac{\mu - 20}{\sqrt{1.21}}\right)[/mm]
>
> Dann entsprechend die Ergebnisse für [mm]\mu = 19.6[/mm] und [mm]\mu = 20.1[/mm]
> aus der Tabelle entnommen.
>
> Aber leider wird in der Lösung anders gearbeitet und auch
> die Ergebnisse sind entsprechend andere. Kann mir jemand
> sagen, wo ich den Fehler mache?
>
> Freue mich über jede Hilfe!
>
> Vielen Dank
>
> LG,
> Chopsuey
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 09:23 Mo 17.04.2017 | | Autor: | ChopSuey |
Hallo donquijote,
vielen Dank für die Rückmeldung.
> Hallo,
> soweit ich es überblicke, sind deine Überlegungen
> grundsätzlich in Ordnung. Allerdings wird in der
> Aufgabenstellung mit der Alternative [mm]\mu < 20[/mm] ein
> einseitiger Test betrachtet.
>
Das würde sich auch mit der Lösung decken. Was ich bloß noch nicht ganz verstanden habe, ist, welche Information mir im Wesentlichen die Antwort auf die Frage liefert, ob ich es mit einem einseitigen oder einem zweiseitgen Hypothesentest zu tun habe.
Ich habe fälschlicherweise angenommen, dass wenn nach $ [mm] H_0: \mu [/mm] = 20 $ gefragt ist, es sich um einen zweiseitigen Hypothesentest handeln muss. Nun wird in dieser Aufgabe ja die Alternativhypothese $ [mm] H_1: \mu [/mm] < 20 $ für den einseitigen Test betrachtet.
Ich bin also ein wenig durcheinander und werde aus meinen Unterlagen leider auch noch nicht so ganz schlau.
Hat das also primär garnichts mit der Nullhypothese bzw der Alternative zu tun sondern richtet sich nur danach ob
a) $ [mm] H_0: \mu [/mm] = [mm] \mu_0$ [/mm] vs $ [mm] H_1: \mu \not= \mu_0 [/mm] $ (zweiseitig)
b) $ [mm] H_0: \mu [/mm] = [mm] \mu_0$ [/mm] vs $ [mm] H_1: \mu [/mm] < [mm] \mu_0$ [/mm] bzw $ [mm] H_1: \mu [/mm] > [mm] \mu_0 [/mm] $(einseitig)
stimmt das dann so? Also schaue ich mir garnicht die Nullhypothese an sondern vielmehr die Alternative?
Vielen Dank für die Hilfe!
LG,
ChopSuey
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:12 Mo 17.04.2017 | | Autor: | luis52 |
Moin Chop, die "Seitigkeit" wird durch die Entscheidungsregel des Tests bestimmt, und zwar aus der Sicht der *Gegenhypothese*. Die Hypothese $ [mm] H_0: \mu [/mm] = [mm] \mu_0 [/mm] $ vs $ [mm] H_1: \mu \not= \mu_0 [/mm] $ kann auch einseitig geprueft werden, und zwar indem du mit $ [mm] \vert T(X_1,...,X_{16}) \vert$ [/mm] arbeitest. Die Ablehnung von [mm] $H_0$ [/mm] erfolgt, wenn $ [mm] \vert T(X_1,...,X_{16}) \vert> u_{1-\frac{a}{2}}$ [/mm] (einseitig) oder, aequivalent, $ [mm] T(X_1,...,X_{16}) <-u_{1-\frac{a}{2}}$ [/mm] oder $ [mm] T(X_1,...,X_{16}) >u_{1-\frac{a}{2}}$ [/mm] (zweiseitig).
In "deiner" Aufgabe lautet aber die Gegenhypothese [mm] $H_0: \mu [/mm] < 20 $ und wird abgelehnt, wenn [mm] $T(X_1,...,X_{16}) [/mm] < [mm] -u_{1-\alpha} [/mm] $, also einseitig. Eine zweiseitige Version faellt mir jetzt nicht oder waere zu gekuenstelt.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 23:48 Mo 17.04.2017 | | Autor: | ChopSuey |
Moin Luis,
großartig! Danke für die tolle Erklärung. Das hilft mir wirklich sehr und ich konnte das leider aus meinen Unterlagen nicht so ganz entnehmen.
Super! Danke vielmals.
LG,
ChopSuey
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:50 Mi 19.04.2017 | | Autor: | ChopSuey |
Hallo,
ich habe nochmal eine Frage zum Ablehnungsbereich. Ich bin ein wenig durcheinander, weil ich (wenn ich nichts übersehe - was ich aber glaube) widersprüchliche Informationen in meinem Buch und im Internet finde.
Insbesondere bei dieser Aufgabe bin ich deshalb durcheinander gekommen. In meinem Buch heißt es, dass beim Gauß-Test die Hypothese $ [mm] H_0 [/mm] : [mm] \mu \le \mu_0$ [/mm] abgelehnt wird wenn $ T > [mm] u_{1-\alpha}$ [/mm] und $ [mm] H_0 [/mm] : [mm] \mu \ge \mu_0$ [/mm] wird abgelehnt wenn $ T < [mm] u_{\alpha}$
[/mm]
Nun habe ich hier ein Skript in dem heißt es "Ablehnung von $ [mm] H_0$ [/mm] bei einseitiger Alternative
$ [mm] H_A [/mm] : [mm] \mu [/mm] < [mm] \mu_0 [/mm] $ wenn $ T < [mm] -u_{1-\alpha}$
[/mm]
$ [mm] H_A [/mm] : [mm] \mu [/mm] > [mm] \mu_0 [/mm] $ wenn $ T > [mm] u_{1-\alpha}$
[/mm]
Was sich ja auch mit dem Deckt, was Luis schrieb. Nur verstehe ich nicht ganz, wieso es in meinem Buch so anders beschrieben wird.
Kann mir jemand weiterhelfen?
Vielen Dank für jeden Hinweis!
LG,
ChopSuey
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 12:23 Do 20.04.2017 | | Autor: | luis52 |
> Hallo,
>
> ich habe nochmal eine Frage zum Ablehnungsbereich. Ich bin
> ein wenig durcheinander, weil ich (wenn ich nichts
> übersehe - was ich aber glaube) widersprüchliche
> Informationen in meinem Buch und im Internet finde.
>
> Insbesondere bei dieser Aufgabe bin ich deshalb
> durcheinander gekommen. In meinem Buch heißt es, dass beim
> Gauß-Test die Hypothese [mm]H_0 : \mu \le \mu_0[/mm] abgelehnt wird
> wenn [mm]T > u_{1-\alpha}[/mm] und [mm]H_0 : \mu \ge \mu_0[/mm] wird
> abgelehnt wenn [mm]T < u_{\alpha}[/mm]
>
> Nun habe ich hier ein Skript in dem heißt es "Ablehnung
> von [mm]H_0[/mm] bei einseitiger Alternative
>
> [mm]H_A : \mu < \mu_0[/mm] wenn [mm]T < -u_{1-\alpha}[/mm]
>
> [mm]H_A : \mu > \mu_0[/mm] wenn [mm]T > u_{1-\alpha}[/mm]
>
> Was sich ja auch mit dem Deckt, was Luis schrieb. Nur
> verstehe ich nicht ganz, wieso es in meinem Buch so anders
> beschrieben wird.
>
> Kann mir jemand weiterhelfen?
>
> Vielen Dank für jeden Hinweis!
>
> LG,
> ChopSuey
Moin Chop, ich sehe keinen Widerspruch. Die Gegenhypothese zu $ [mm] H_0 [/mm] : [mm] \mu \ge \mu_0 [/mm] $ lautet [mm]H_A : \mu < \mu_0[/mm]. [mm] $H_0$ [/mm] wird zugunsten von [mm] $H_A$ [/mm] abgelehnt wenn $ T < [mm] -u_{1-\alpha}=u_{\alpha} [/mm] $.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:25 Do 20.04.2017 | | Autor: | ChopSuey |
Moin Luis,
ja stimmt! Vielen Dank für deine Hilfe ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
LG,
ChopSuey
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