Hypothesentest < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:01 So 30.12.2012 | | Autor: | Fatih17 |
| Aufgabe | Zwei Zocker A und B unterhalten sich nach dem Spiel.
A meint: "Ich habe den Eindruck, dass bei der Münze Kopf wesentlich öfter als Zahl erscheint." Zocker B: "Ich nicht."
A stellt also die Hypothese [mm] H_{0} [/mm] : p > [mm] \bruch{1}{2} [/mm] auf, wobei p die Wahrscheinlichkeit für Kopf angibt.
Die Hypothese von B lautet dann [mm] H_{2} [/mm] : p [mm] \le \bruch{1}{2}.
[/mm]
A und B werfen nun 900mal die Münze und erhalten 481mal "Zahl".
Ist die Hypothese [mm] H_{0} [/mm] abzulehnen bei einer Irrtumswarscheinlichkeit [mm] \alpha [/mm] von
a) [mm] \alpha [/mm] = 0.05
b) [mm] \alpha [/mm] = 0.01
Hinweis:
Approximieren Sie die Binomialverteilung durch die Gaußsche Glockenkurve (ohne Korrekturterme). |
Guten Tag liebe Gemeinde,
Zu dieser Aufgabe habe ich mir folgende Gedanken gemacht:
Die Wahrscheinlichkeit bei einer Münze Kopf oder Zahl zu bekommen liegt bei [mm] \bruch{1}{2}.
[/mm]
900 mal wird eine Münze geworfen und wir erwarten sozusagen, dass 450 mal Kopf und 450 mal Zahl fällt.
Nun ist jedoch mehr als die Hälfte Zahl gefallen, womit die [mm] H_{0} [/mm] unrecht hat. Heißt also, dass [mm] H_{0} [/mm] nur Werte unter 450 annehmen kann damit seine Aussage gültig wäre und wenn sich der Test um 0,05 (50 Würfe mit Zahl) verändern würde (481-50 = 405), wäre [mm] H_{0} [/mm] gültig!
Das sind jetzt meine ersten Gedanken. Jedoch weiß ich nicht wirklich was gewollt ist.
Vielen Dank im voraus!
Fatih
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:12 So 30.12.2012 | | Autor: | luis52 |
Moin Fatih,
A testet die Nullhypthese $ [mm] H_{0} [/mm] : p [mm] \le \bruch{1}{2} [/mm] $, denn er vermutet, dass die Gegenhypothese $ [mm] H_{1} [/mm] : p > [mm] \bruch{1}{2} [/mm] $ zutrifft ...
vg Luis
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:56 So 30.12.2012 | | Autor: | Fatih17 |
Hallo nochmal,
ich weiß wirklich nicht wie ich an die Aufgabe rangehen soll. Ich habe mit der Binomialverteilung einen ganz anderen Wert heraus:
[mm] \vektor{900 \\ 481}* 0.5^{481}* 0.5^{417} \approx [/mm] 0.003144
MFG
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:30 So 30.12.2012 | | Autor: | luis52 |
> Hallo nochmal,
>
> ich weiß wirklich nicht wie ich an die Aufgabe rangehen
> soll.
> Ich habe mit der Binomialverteilung einen ganz
> anderen Wert heraus:
Als was?
>
> [mm]\vektor{900 \\ 481}* 0.5^{481}* 0.5^{417} \approx[/mm] 0.003144
>
Irgendwie ist in der Aufgabenstellung der Wurm. A vermutet, dass " dass bei der Münze Kopf wesentlich öfter als Zahl erscheint." Nun ist aber 419 Mal "Kopf" und 481mal "Zahl" erschienen, was die Vermutung von A keineswegs stuetzt.
Bitte ueberpruefe nochmals die Vorgaben.
vg Luis
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:57 So 30.12.2012 | | Autor: | Fatih17 |
Hallo nochmal,
also ich bin jetzt seit 2 Tagen an der Aufgabe und habe immernoch keine Idee was ich machen muss. Ich habe zwar diverse Beispiele angeschaut im Internet. Aber verstanden habe ich wirklich nicht sehr viel.
Ich weiß, dass man eine Ober bzw. Unterschranke betrachten muss um zu sagen wann eine Hypothese etwas toleriert. Die Berechnungen sind jedoch sehr schleierhaft. Genauer gesagt verstehe ich z.b. das Ablesen aus der Binomialtabellen rein garnicht, da ich bei meinen 900 Versuchen keine Tabelle zur Verfügung habe.
Vielleicht könnte mir jemand einen Ablauf Posten, damit ich weiß was ich genau machen muss.
MFG
Fatih
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:29 So 30.12.2012 | | Autor: | luis52 |
Ich wandle mal die Aufgabenstellung etwas ab, damit du das Testprinzip vielleicht etwas besser verstehen kannst:
Zwei Zocker A und B unterhalten sich nach dem Spiel. A meint: "Ich habe den Eindruck, dass bei der Münze Kopf wesentlich öfter als Zahl erscheint." Zocker B: "Ich nicht."
A meint seine Vermutung hinreichend belegen zu koennen, wenn in 900 Wuerfen "zu oft" Kopf erscheint. A und B werfen nun 900mal die Münze und erhalten 481mal "Kopf".
Die Frage ist nun, inwieweit A seine Vermutung $ [mm] H_{1} [/mm] : p > [mm] \bruch{1}{2}$ [/mm] gestuetzt sieht, wobei $p$ die Wahrscheinlichkeit für Kopf angibt. Konkret stellt sich die Frage, wie wahrscheinlich es ist 481 oder mehr Koepfe zu erhalten, wenn das Gegenteil $ [mm] H_{0}: p\le\bruch{1}{2}$, [/mm]
im Extremfall $p=1/2$, zutrifft.
Das macht man so: Die Anzahl $X$ der Koepfe ist binomialverteilt mit $n=900$ und $p$. Gesucht ist
[mm] $P(X\ge 481)=1-P(X\le 480)=1-\sum_{i=0}^{480}\binom{900}{i}p^i(1-p)^{900-i}$.
[/mm]
Dieser Ausdruck ist im allgemeinen direkt schwer zu berechnen, jedoch gibt es Programme, die das koennen. Setzt man $p=1/2$, so ergibt sich [mm] $P(X\ge [/mm] 481)=0.02098$.
Eine Alternative besteht darin auszunutzen, dass $X$ approximativ normalverteilt ist mit Erwartungswert [mm] $np(=900\cdot0.5=450)$ [/mm] und Varianz [mm] $np(1-p)(=900\cdot0.5=225)$. [/mm] Man erhaelt so
[mm] $1-P(X\le 480)\approx1-\Phi\left(\frac{480-np}{\sqrt{np(1-p)}}\right) =1-\Phi\left(\frac{480-450}{15}\right)=0.02275$.
[/mm]
Die obige Frage laeuft nun darauf hinaus zu entscheiden, ob die berechnete Wsk hinreichend klein ist. Dabei hilft das Signifikanzniveau. Es ist Ausdruck dessen, was der Tester fuer hinreichend klein haelt. Ein Tester mag die Wsk [mm] $\alpha=0.05$ [/mm] als hinreichend klein empfinden (der Draufgaenger), ein anderer [mm] $\alpha=0.01$ [/mm] (der Angsthase). Fuer den ersten Tester fuehrt unsere Rechnung zu Ablehnung von [mm] $H_0$, [/mm] weil $0.02275<0.05$, fuer den anderen nicht.
vg Luis
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