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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 14:38 So 22.01.2012 | | Autor: | Wiebs91 |
| Aufgabe | Eine Firma produziert Glühbirnen in Produktionseinheiten der Größe 10000. Eine Glühbirne einer solchen Einheit genügt mit Wahrscheinlichkeit p den Qualitätsanforderungen, wobei verschiedene Birnen unabhängig sind. Für eine Produktionseinheit ist p fest. Die Firma testet n Glühbirnen.
a)Bestimmen Sie einen Schätzer p' für p. Wieviele Birnen müssen den Test bestehen, damit die Firma an p>= 0.99 glauben kann?
b)Eine Einheit soll nicht mehr als 1% minderwertige Birnen enthalten. Wie groß muss n sein, damit die schlechte Qualität mit Wahrscheinlichkeit 95% mit dem Verfahren aus a) entdeckt wird, falls das wirkliche p=0,98 ist? |
Hey,
ich sitze grad seit Stunden an dieser Aufgabe und drehe mich einfach immer wieder im Kreis.
Zur a) Habe p' mit ML geschätzt unter Annahme der Binomialverteilung. Kriege also den empirischen Mittelwert daraus.
Beim zweiten Teil der a bin ich mir schon wieder unsicher. Mit was arbeite ich? Habe als Nullhypothese nur p>=0,99, und jetzt? Kein n gegeben, da ja zu ermitteln, kein MW, nichts.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
b) Bin soweit, dass ich folgendes denke ermittelt zu haben:
Nullhypothese= [mm] p<=0,01=p_{0}
[/mm]
Alternativhypothese= p>0,01
[mm] \alpha=0,05
[/mm]
[mm] p_{1}=0,98
[/mm]
Nun soll ich ja wieder n ermittelnt. [mm] P_{1} [/mm] ist ja für den BetaFehler, um diesen zu berechnen. Aber [mm] \beta [/mm] ist mir ja auch nicht gegeben.
Kann mit normalem Testverfahren meine Abweichung vom Mittelwert bis auf n bestimmen, habe dann aber nachher immer noch zwei unbekannte: [mm] n,\beta, [/mm] aber nur noch eine Gleichung.
Ist das alles kompletter Müll, was ich geschrieben hab, oder sind die Ansätze zumindest richtig?
Ich will nicht, dass mir das hier einer zuende durchrechnet, bräuchte nur einen Schubs in die richtige Richtung, um zu wissen, wie ich da genau vorgehen soll :)
Vielen Dank schonmal!
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:52 Mo 23.01.2012 | | Autor: | Wiebs91 |
Hat denn wirklich niemand einen Ansatz? Irgendwer muss das Thema doch verstanden haben?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:07 Di 24.01.2012 | | Autor: | Walde |
Hi wiebs,
ich würde sagen, die Firma kann an [mm] p\ge [/mm] 0,99 glauben, wenn die Nullhypothese p<0,99 abgelehnt werden kann (nur bei Ablehnung hat man ja eine Signifikanz). Weder n noch [mm] \alpha [/mm] sind vorgegeben. Gesucht ist aber nicht n, sondern die Entscheidungsregel, wann abgelehnt wird. Wieviel Glühbirnen bestehen müssen, hängt aber natürlich von n und [mm] \alpha [/mm] ab. Ich glaube daher, dass du die Regel nicht in Zahlen, sondern in deren Abhängigkeit [mm] (n,\alpha) [/mm] angeben sollst. Man kann ja auch mal ein Beispiel mit n=10000 und [mm] \alpha=0.05 [/mm] machen.
Bei der b) soll man, glaube ich, nicht den Test verändern (sondern den aus a) nehmen), sondern einfach n so wählen (hier ist jetzt tatsächlich n gesucht), dass der Test eine Power (Macht) von 95% erhält. Dh. die W'keit, unter [mm] H_1 [/mm] (,dh. [mm] p_1=0.98), [/mm] dass der Test [mm] H_0 [/mm] ablehnt soll 95% betragen. Da gleichzeitig auch [mm] \alpha [/mm] eingehalten werden soll (der Test bzw die Entscheidungsregel bleibt ja unverändert), geht das nur, wenn n erhöht wird.
So hab ich das verstanden, aber vielleicht hast du Glück u ein Experte kuckt sich das nochmal an 
LG walde
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:10 Di 24.01.2012 | | Autor: | Wiebs91 |
Hey walde,
erstmal danke für die Tipps. :)
Habe inzwischen selber bisschen rumgebastelt und die b) hinbekommen, dein Tipp passt dazu, also schauts gut aus :)
Ich habe allerdings [mm] H_{0}: [/mm] p>=0,99 und [mm] H_{1}: [/mm] p<0,99 gewählt, weill ich 0,99 ja annehmen will.
Mit dem ZGWS gilt ja
[mm] \IP[ \bruch{\summe_{i=1}^{n}X_{i}-np}{\sigma}<\bruch{c}{\sigma}]<=\alpha
[/mm]
Da es ein linksseitiger Test ist und ich die Abweichung nach unten ahnden will.
Daraus ergibt sich dann als kritischer Wert:
[mm] np_{krit}>=np-\Phi(1-\alpha)\*\wurzel{np(1-p)}
[/mm]
Umgeformt nach n:
[mm] n>=[\Phi(1-\alpha)*\wurzel{p(1-p)}\*(0.99-p_{1})]^2
[/mm]
In b setze ich für p=0,98 und [mm] \alpha=0,05 [/mm] ein und erhalte so mein [mm] n\approx534
[/mm]
Falls ein Denkfehler drin is bitte Bescheid sagen, aber hoffe/denke, es müsste so stimmen;)
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:58 Di 24.01.2012 | | Autor: | Walde |
Hi Wiebs,
> Hey walde,
>
> erstmal danke für die Tipps. :)
>
> Habe inzwischen selber bisschen rumgebastelt und die b)
> hinbekommen, dein Tipp passt dazu, also schauts gut aus :)
>
> Ich habe allerdings [mm]H_{0}:[/mm] p>=0,99 und [mm]H_{1}:[/mm] p<0,99
> gewählt, weill ich 0,99 ja annehmen will.
Hm, ja da hast du wohl recht. Angesichts der b), wo ja [mm] 0,98\in H_1 [/mm] sein soll, muß man wohl [mm] H_0:p\ge [/mm] 0,99 wählen.
[Randbemerkung:Ich habe gelernt, wenn man statistisch etwas "zeigen/beweisen " will, kann man dies nur über ein signifikanntes Ergebnis. Also eine Ablehnung von [mm] H_0, [/mm] da dies nur recht unwahrscheinlich [mm] (=\alpha) [/mm] eine Fehlentscheidung ist. Aber mit der Formulierung (...können an [mm] p\ge [/mm] 0,99 glauben.) ist wohl nicht gemeint, dass sie es als erwiesen ansehen, also von daher paßt das wohl schon.]
Also soweit einverstanden mit der Wahl von [mm] H_0.
[/mm]
>
> Mit dem ZGWS gilt ja
>
> [mm]\IP[ \bruch{\summe_{i=1}^{n}X_{i}-np}{\sigma}<\bruch{c}{\sigma}]<=\alpha[/mm]
>
> Da es ein linksseitiger Test ist und ich die Abweichung
> nach unten ahnden will.
>
> Daraus ergibt sich dann als kritischer Wert:
>
> [mm]np_{krit}>=np-\Phi(1-\alpha)\*\wurzel{np(1-p)}[/mm]
Ich setze mal [mm] X=\summe_{i=1}^{n}X_i [/mm] und gehe von [mm] P(X\le c_{krit})\le\alpha [/mm] aus und komme dann auch auf
[mm] c_{krit}=n*0,99-\Phi^{-1}(1-\alpha)*\wurzel{n*0,99*0,01}
[/mm]
Dies ist also der kritische Wert für den Test in Abhängigkeit von [mm] \alpha [/mm] und n, ok.
Aber mit dem folgenden stimmt glaube ich was nicht:
>
> Umgeformt nach n:
>
> [mm]n>=[\Phi(1-\alpha)*\wurzel{p(1-p)}\*(0.99-p_{1})]^2[/mm]
>
> In b setze ich für p=0,98 und [mm]\alpha=0,05[/mm] ein und erhalte
> so mein [mm]n\approx534[/mm]
>
> Falls ein Denkfehler drin is bitte Bescheid sagen, aber
> hoffe/denke, es müsste so stimmen;)
Es gilt jetzt:unter [mm] H_0 [/mm] ist der Fehler 1.Art kleinergleich [mm] \alpha, [/mm] mit dem Ablehnungsbereich [mm] K=\{ 0,\ldots,c_{krit} \}: P_{p=0,99}(X\le c_{krit})\le\alpha.
[/mm]
Es soll für b) nun gleichzeitig gelten: [mm] P_{p=0,98}(X\in K)=0.95 [/mm] Die W'keit,dass man im Ablehungsbereich landet, wenn p=0.98 ist. Hier trifft man also mit 95% die richtige Entscheidung gegen [mm] H_0. [/mm] (Das hat übrigens nichts mit [mm] \alpha [/mm] von oben zu tun, sondern ist [mm] 1-\beta)
[/mm]
Es ist also [mm] P_{p=0,98}(\bruch{X-n*0,98}{\wurzel{n*0,98*0,02}}\le\bruch{c_{krit}-n*0,98}{\wurzel{n*0,98*0,02}})=0,95, [/mm] also (wieder mit std.Normalvert. approximiert)
[mm] \bruch{c_{krit}-n*0,98}{\wurzel{n*0,98*0,02}}=1.645=\Phi^{-1}(0.95). [/mm] Wenn man jetzt für [mm] \alpha=0.05 [/mm] nimmt und für [mm] c_{krit} [/mm] das von oben hier einsetzt und nach n auflöst, erhalte ich bzw. Wolfram Alpha [mm] n\approx1552,17 [/mm] (wenn ich mich nicht vertippt habe.)
Checks mal durch.
LG walde
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 07:20 Do 26.01.2012 | | Autor: | Wiebs91 |
Danke, ich hab mich nochmal mit den ganzen Definitionen etc. auseinandergesetzt und verstehe was du meinst :) Habe dementsprechend alles nochmal überarbeitet.
Vielen Dank für deine Hilfe;)
LG
PS: Wie schließe ich eine Diskussion?
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