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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:09 Mi 08.09.2010 | | Autor: | Laura_88 |
| Aufgabe | Der Kühlturm einens Kraftwerkes hat die Form eines einschaligen Drehhyperboloids. Der untere Durchmesser beträgt 120m, der engste Durchmesser in höhe 120 m beträgt 80m . Der Turm ist 150m hoch.
a) Wie lautet die Gleichung der erzeugenden Hyperbel (Hauptlage) |
meiner meinung nach hab ich da ja nur a= 40m gegeben oder etwa nicht? ich hab mir jetzt überlegt wie ich auf b kommen könnte und zwar ich würde da eine Tangente an die hyperbel legen und zwar im punkt (40/120) dann würd ich die mit dem ersten Median y=x schneiden um dann so auf einen punkt wo ich dann ja nur die y-koordinate minus den 120 rechnen müsste und dann hätte ich b!
jetzt ist meine Frage geht das überhaupt so wie ich mir das denke und viel wichtiger: Gibts da einen leichteren weg um auf die Hyperbelgleichung zu kommen und wenn ja welchen!
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo Laura,
Du hast aber gerade recht verschiedene Aufgaben zu behandeln...
Bei einem Kühlturm, typischerweise als Rotationshyperboloid ausgebildet, ist jeder Querschnitt, der die Rotationsachse beinhaltet, gerade die erzeugende Hyperbel.
Am einfachsten ist hier die Hyperbelgleichung in der "1. Hauptlage" (schau mal ![[]](/images/popup.gif) hier). Die ist hier auch leicht zu finden, wenn Du den Ursprung des Koordinatensystems gerade bei (0;120) ansetzt. Du hast zwei Unbekannte (a und b) und zwei Gleichungen...
Grüße
reverend
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:01 Mi 08.09.2010 | | Autor: | Laura_88 |
als erste gleichung hab ich [mm] b^{2}*x^{2}-a^{2}*y^{2}= a^{2}*b^{2}
[/mm]
als zweite gleichung hab ich [mm] (x^{2}/a^{2})-(y^{2}/b^{2}=1
[/mm]
ich bekomm aber immer für a = 0 raus. und wenn ich diese in die 1.Gleichung einsetze bekomm 0=0 raus.
wo mache ich den fehler?
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Hallo Laura_88,
> als erste gleichung hab ich [mm]b^{2}*x^{2}-a^{2}*y^{2}= a^{2}*b^{2}[/mm]
>
> als zweite gleichung hab ich [mm](x^{2}/a^{2})-(y^{2}/b^{2}=1[/mm]
>
> ich bekomm aber immer für a = 0 raus. und wenn ich diese
> in die 1.Gleichung einsetze bekomm 0=0 raus.
>
> wo mache ich den fehler?
Fehler hast Du keinen gemacht.
Die Gleichungen gehen ineinander über.
Die zweite Gleichung entsteht aus der ersten Gleichung,
indem diese durch [mm]a^{2}*b^{2}[/mm] geteilt wird.
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:34 Mi 08.09.2010 | | Autor: | Laura_88 |
aber was heißt das jetzt für die hyperbegleichung die ich ja eigentlich herausfinden will ? Oder ist mein Ansatz schon mal grundlegend falsch?
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Hallo nochmal,
na, die vorliegenden Werte solltest Du schon noch einsetzen. a und b willst Du ermitteln, aber Du hast zwei Paare von x,y-Werten. An beiden Stellen muss ja die gleiche Gleichung gelten - vorerst eben mit unbekanntem a,b aber bekanntem x,y. Daraus ermittelst Du die beiden Parameter und hast dann die Gleichung für alle x,y-Paare.
Grüße
reverend
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:06 Fr 10.09.2010 | | Autor: | Laura_88 |
hey!
hab mich jetzt nochmal dazugesetzt und hab jetzt den ursprung also (0/120) eingesetzt in [mm] x^2/a^2 [/mm] - [mm] y^2/b^2 [/mm] = 1 da bekomme ich dann für a = 0 und für b = 120 raus. Kann das stimmen?
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Hallo Laura,
nein, das stimmt nicht.
> hey!
> hab mich jetzt nochmal dazugesetzt und hab jetzt den
> ursprung also (0/120) eingesetzt in [mm]x^2/a^2[/mm] - [mm]y^2/b^2[/mm] = 1
> da bekomme ich dann für a = 0 und für b = 120 raus. Kann
> das stimmen?
Dein Ursprung liegt in 120m Höhe, unten ist die Koordinate also (x;-120).
Der Durchmesser beträgt dort 120m, so dass also die beiden Punkte, die auf der Schnitthyperbel liegen, bei (60;-120) und (-60;-120) liegen.
Die liefern Dir aber (wegen des Quadrats) nur eine einzige Information.
Die zweite Information liefert die engste Stelle, auf Höhe des Ursprungs. Da sind die beiden Punkte auf der Hyperbel also (-40;0) und (40;0). Sie liefern zusammen wieder nur eine Information.
edit: grober Flüchtigkeitsfehler, nach Lauras berechtigtem Einwand geändert. Sorry.
Trotzdem hast Du damit ja zwei Informationen, also zwei Gleichungen, in denen jeweils a und b vorkommen. Die kannst Du damit also beide bestimmen. Vielleicht ist es einfacher zu rechnen, wenn Du [mm] a'=\bruch{1}{a} [/mm] und [mm] b'=\bruch{1}{b} [/mm] bestimmst, dann kannst Du sie ja danach in die gesuchten Größen umwandeln.
Viel Erfolg,
reverend
PS: Ich bin den Rest des Tages weg, weitestgehend jedenfalls.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:20 Fr 10.09.2010 | | Autor: | Laura_88 |
ok das ich da nicht selbst drauf gekommen bin! aber ich glaub du hast da einen Fehler drinnen weil an der engsten Stelle muss das dann ja -40/0 und 40/0 sein oder?
den schluss versteh ich nicht aber ich werd jetzt mal rechnen!
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Stimmt. Da habe ich einen Fehler. Gut aufgepasst!
reverend
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:30 Fr 10.09.2010 | | Autor: | Laura_88 |
so ich hab jetzt (40/0) in [mm] x^2/a^2 [/mm] - [mm] y^2/b^2 [/mm] = 1 eingesetzt es hat sich gleich ein wert für a ergeben und zwar 40 für b bekomm ich dann 1 raus! Das kann doch nicht stimmen oder?
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Hallo nochmal,
a=40 stimmt. Aber wie bist Du auf b gekommen? Zwei Variablen aus einer Gleichung zu bestimmen, kann ja nicht gehen.
Du brauchst hier also die andere Angabe, darfst aber a=40 schon verwenden. Also:
[mm] \left(\bruch{x}{a}\right)^2-\left(\bruch{y}{b}\right)^2=1\quad \Rightarrow \left(\bruch{60}{40}\right)^2-\left(\bruch{-120}{b}\right)^2=1
[/mm]
(Habe ich vorhin "+" geschrieben? Aua.)
Daraus kannst Du b doch bestimmen. Es ist nicht 1...
Grüße
reverend
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:36 Sa 11.09.2010 | | Autor: | Laura_88 |
danke! aber jetzt bekomm ich wieder 2 verschiedene Werte für b raus. einmal wenn ich gleich am Anfang die Wurzel zieh 240 und wenn ich ausquadriere und die wurzel erst am schluss ziehe dann komm ich auf 107,33 ich weiß nicht irgendwie passt das nicht
aber kann da einer der werte stimmen und welcher ?
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Hallo Laura_88,
> danke! aber jetzt bekomm ich wieder 2 verschiedene Werte
> für b raus. einmal wenn ich gleich am Anfang die Wurzel
> zieh 240 und wenn ich ausquadriere und die wurzel erst am
> schluss ziehe dann komm ich auf 107,33 ich weiß nicht
> irgendwie passt das nicht
> aber kann da einer der werte stimmen und welcher ?
Offenbar hast Du bei der Berechnung des ersten Wertes
[mm]\wurzel{a-b}=\wurzel{a}-\wurzel{b}[/mm],
verwendet, welche im allgemeinen nicht stimmt.
Daher ist der zweite Wert korrekt.
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:02 Sa 11.09.2010 | | Autor: | Laura_88 |
hey!
bist du sicher das der 2.Wert also 107,33... stimmt? weil ich muss mir dann ja das volumen berechnen mit der Formel: [mm] V=1/3pi*h*(2a^2+R^2) [/mm] stimmt die?
also ich had für h: 150 eingesetzt für a: 40 und für R: 149,085... (für R hab ich mir zuerst e berechnet: 114,542... und dann r: 229,08...)
Für das Volumen komm ich auf 4 496 620,953 kann das stimmen? obwohl wenn ich so überlege könnte schon sein wenn der Turm 150 Meter hoch ist und unten 120 Meter breit?! Aber ich hab da nicht so eine Ahnung
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:29 Sa 11.09.2010 | | Autor: | leduart |
hallo
Wenn du den 0 Pkt in die Mitte der Parabel legst ist a=r=40m
Wie kommst du dann bei x=60 y=120 auf dein b?
deine 107... ist falsch. Rechne mal vor. es kommt ne glatte Zahl raus.
Darfst du ne fertig gefundene Formel fuer das Volumen verwenden, oder solltest du doch integrieren?
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:36 Sa 11.09.2010 | | Autor: | Laura_88 |
muss y nicht -120 sein?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:44 Sa 11.09.2010 | | Autor: | leduart |
Hallo
da die Hyperbel sym. zu y=0 ist ist das egal! haettest du auch selbst sehen koennen, da nur [mm] y^2 [/mm] vorkommt!
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:55 Sa 11.09.2010 | | Autor: | Laura_88 |
also ich rechne so: x: 60 y: -120 a: 40
ich setzte in [mm] x^2/a^2 [/mm] + [mm] y^2/b^2 [/mm] = 1 ein
also [mm] 60^2/40^2 [/mm] + [mm] -120^2/b^2 [/mm] =1 // - [mm] 60^2/40^2
[/mm]
[mm] -120^2/b^2 [/mm] = [mm] 1-60^2/40^2 [/mm]
[mm] -120^2/b^2 [/mm] = -1,25 // [mm] *b^2
[/mm]
[mm] -120^2 [/mm] = [mm] -1,25b^2 [/mm] // : -1,25
[mm] b^2 [/mm] = 11520
dann noch die Wurzel ziehen und ich komm auf 107....
ich weiß echt nicht was ich da falsch mache :-(
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:03 Sa 11.09.2010 | | Autor: | Loddar |
Hallo Laura!
> ich setzte in [mm]x^2/a^2[/mm] + [mm]y^2/b^2[/mm] = 1 ein
Das muss doch [mm] $\bruch{x^2}{a^2} [/mm] \ [mm] \red{-} [/mm] \ [mm] \bruch{y^2}{b^2} [/mm] \ = \ 1$ lauten!
> also [mm]60^2/40^2[/mm] + [mm]-120^2/b^2[/mm] =1 // - [mm]60^2/40^2[/mm]
> [mm]-120^2/b^2[/mm] = [mm]1-60^2/40^2[/mm]
> [mm]-120^2/b^2[/mm] = -1,25 // [mm]*b^2[/mm]
> [mm]-120^2[/mm] = [mm]-1,25b^2[/mm] // : -1,25
> [mm]b^2[/mm] = 11520
> dann noch die Wurzel ziehen und ich komm auf 107....
Bis auf jede Menge fehlende Klammern stimmt es. Und Du scheinst durch die fehlenden Klammern den o.g. Vorzeichenfehler wieder "wett zu machen".
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:33 Sa 11.09.2010 | | Autor: | Laura_88 |
ok dann versteh ich das nicht weil mir in der vorigen Antwort gesagt wurde das ich da dann eine ganze Zahl für b rausbekomme aber ich bekomm immer 107... raus was kann denn da sein?
bin echt schon am verzweifeln :-(
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:25 Sa 11.09.2010 | | Autor: | Loddar |
Hallo Laura!
Ich erhalte auch dieses Ergebnis mit $b \ [mm] \approx [/mm] \ 107{,}3$ .
Gruß
Loddar
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Hallo Laura_88,
> ok dann versteh ich das nicht weil mir in der vorigen
> Antwort gesagt wurde das ich da dann eine ganze Zahl für b
> rausbekomme aber ich bekomm immer 107... raus was kann denn
Nun, das Ergebnis für b erhalte ich auch.
Gemeint war wohl, daß für das Volumen
[mm]V=k* \pi, \ k \in \IZ[/mm]
gilt.
> da sein?
> bin echt schon am verzweifeln :-(
Gruss
MathePower
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(Antwort) fertig | | Datum: | 01:17 So 12.09.2010 | | Autor: | leduart |
Hallo
sorry, ich hatte ein falsches R
besser du schreibst [mm] b^2 [/mm] auf , bzw b mit ner Wurzel.
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:56 Mo 13.09.2010 | | Autor: | Laura_88 |
ich hab das Volumen jetzt nochmals mit der Formel ausgerechnet! ich komme auf 1 256 637
(für h: 150; a: 40; R:r-2a r: 40; R: 40)
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:43 Mo 13.09.2010 | | Autor: | Loddar |
Hallo Laura!
Deine Formel für das volumen des Hyperboloiden kenne ich nicht. Hier kann man doch wunderbar die entsprechende Integrationsformel anwenden mit:
[mm]V_y \ = \ \pi*\integral_{y_1}^{y_2}{x^2 \ dy}[/mm]
Dabei erhältst Du [mm]x^2[/mm] aus der Gleichung [mm]\bruch{x^2}{a^2}-\bruch{y^2}{b^2} \ = \ 1[/mm] und die Grenzen aus der Aufgabenstellung mit [mm]y_1 \ = \ -120[/mm] und [mm]y_2 \ = \ 30[/mm] .
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:15 Di 14.09.2010 | | Autor: | Laura_88 |
also ich hab deinen Rat mal befolgt und das so ausgerechnet wie du vorgeschlagen hast! Hoffe es stimmt jetzt endlich!
ich komm jetzt auf ein Volumen (Hyperboloid) von 321 250 [mm] m^3
[/mm]
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Hallo Laura_88,
> also ich hab deinen Rat mal befolgt und das so ausgerechnet
> wie du vorgeschlagen hast! Hoffe es stimmt jetzt endlich!
> ich komm jetzt auf ein Volumen (Hyperboloid) von 321 250
> [mm]m^3[/mm]
Das ist richtig. ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:29 Fr 10.09.2010 | | Autor: | Laura_88 |
| Aufgabe | | b) Welches Luftvolumen schließt der Turm ein? |
hab da jetzt mal eine Formel für das Volumen gefunden: [mm] V=1/3pi*h*(2a^2+R^2) [/mm]
h hab ich ja oder die 150 meter Höhe des Turms?!
aber wie bekomm ich R und was ist das überhaupt?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 11:33 Fr 10.09.2010 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
R ist der sich verändernde Radius, den du mit der Hyperbelfunktion bestimmen kannst.
Marius
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