Hyperbel (Tangentengleichung) < Topologie+Geometrie < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:28 So 29.01.2012 | | Autor: | Laura87 |
| Aufgabe | Die Gleichung [mm] 9x^2-16y^2-54x-160y-463=0 [/mm] ist die Gleichung einer Hyperbel. Bestimmen Sie den Mittelpunkt und die Halbachsenlängen der Hyperbel sowie die
Gleichungen der Tangenten an der Stelle x = 9. Fertigen Sie eine Skizze an. |
Hallo,
würde mich freuen, wenn ihr mir beim letzten Schritt behilflich sein könnt.
Also der Mittelpunkt und die Halbachsen sind nicht das Problem. Durch ein paar Umformungen habe ich:
[mm] 9x^2-16y^2-54x-160y-463=\bruch{(x-3)^2}{4^2}-\bruch{(y-5)^2}{3^2}=1
[/mm]
Der Mittelpunkt ist also (3,5) und die Halbachsen haben die Laenge 4 und 3.
Wobei ich Schwierigkeiten habe, ist die Tangentengleichung. Wie ist die den zu bestimmen :-S
|
|
| |
|
Hallo, dir ist ein kleiner Vorzeichenfehler unterlaufen
[mm] 9x^2-16y^2-54x-160y-463=0 [/mm] daraus folgt [mm] \bruch{(x-3)^2}{4^2}-\bruch{(y+5)^2}{3^2}=1
[/mm]
Berechne die beiden Berührpunkte [mm] P(x_B;y_B) [/mm] dann lauten die Tangentengleichungen
[mm] \bruch{(x_B-x_0)*(x-x_0)}{a^{2}}-\bruch{(y_B-y_0)*(y-y_0)}{b^{2}}=1
[/mm]
du hast schon [mm] a^{2}=16 [/mm] und [mm] b^{2}=9 [/mm] sowie [mm] x_0=3 [/mm] und [mm] y_0=-5
[/mm]
Steffi
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:33 So 29.01.2012 | | Autor: | Laura87 |
Hallo Steffi,
danke erst einmal für deine Korrektur.
> Berechne die beiden Berührpunkte [mm]P(x_1;y_1)[/mm] dann lauten
> die Tangentengleichungen
>
> [mm]x*\bruch{x_1}{a^{2}}-y*\bruch{y_1}{b^{2}}=1[/mm]
>
[mm] x_1 [/mm] ist ja 2 jetzt setze ich das in die Gleichung
[mm] 9x^2-16y^2-54x-160y-463=0 [/mm] ein und berechne y oder?
Und noch etwas: ist es jetzt =0 wie in der Aufgabenstellung oder muss ich es =1 setzen so wie ich es ausgerechnet habe?
|
|
|
| |
|
Hallo, schau mal bitte in meine andere Antwort, die zunächst dort stehende Tangentengleichung gilt nur für die 1. Hauptlage, habe sie inzwischen korrigiert, du kennst schon [mm] x_B=9, [/mm] daraus ergibt sich [mm] y_B_1=-5+\wurzel{11,25} [/mm] und [mm] y_B_2=-5-\wurzel{11,25} [/mm] Steffi
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:59 So 29.01.2012 | | Autor: | Laura87 |
Ich habe also jeweils zwei Tangentengleichungen wo xB ist bei beiden gleich, was sich aendert ist yB
[mm] t_1=\bruch{(9-3)(x-3)}{16}-(\bruch{-5+\wurzel{11,25}-(-5)(y-(-5))}{9})
[/mm]
[mm] =(\bruch{6x-18}{16})-(\bruch{3 \wurzel{\bruch{5}{2}}y+15 \wurzel{\bruch{10}{2}}}{9})
[/mm]
[mm] t_2 [/mm] ist das selbe nur mit anderem Vorzeichen
ist das richtig?
|
|
|
| |
|
Hallo Laura87,
> Ich habe also jeweils zwei Tangentengleichungen wo xB ist
> bei beiden gleich, was sich aendert ist yB
>
> [mm]t_1=\bruch{(9-3)(x-3)}{16}-(\bruch{-5+\wurzel{11,25}-(-5)(y-(-5))}{9})[/mm]
>
> [mm]=(\bruch{6x-18}{16})-(\bruch{3 \wurzel{\bruch{5}{2}}y+15 \wurzel{\bruch{10}{2}}}{9})[/mm]
>
Die Tangentengleichung muss doch lauten:
[mm]t_{1}:(\bruch{6x-18}{16})-(\bruch{3 \wurzel{\bruch{5}{\red{4}}}y+15 \wurzel{\red{\bruch{5}{4}}}}{9})=\red{1}[/mm]
> [mm]t_2[/mm] ist das selbe nur mit anderem Vorzeichen
>
Das andere Vorzeichen wohl auf der linken Seite der Gleichung.
> ist das richtig?
Gruss
MathePower
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:23 So 29.01.2012 | | Autor: | Laura87 |
danke für die Korrektur :)
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:34 So 29.01.2012 | | Autor: | Laura87 |
noch eine kurz Frage: Wie kommt man auf [mm] yB_1 [/mm] und 2? Was muss ich dafür umformen?
du kennst
> schon [mm]x_B=9,[/mm] daraus ergibt sich [mm]y_B_1=-5+\wurzel{11,25}[/mm] und
> [mm]y_B_2=-5-\wurzel{11,25}[/mm] Steffi
|
|
|
| |
|
Hallo du kennst
[mm] \bruch{(x-3)^{2}}{4^{2}}-\bruch{(y+5)^{2}}{3^{2}}=1
[/mm]
x=9 einsetzen
[mm] \bruch{36}{16}-\bruch{(y+5)^{2}}{9}=1
[/mm]
[mm] 324-16*(y+5)^{2}=144
[/mm]
[mm] 324-16y^{2}-160y-400=144
[/mm]
[mm] 0=16y^{2}+160y+220
[/mm]
[mm] 0=y^{2}+10y+13,75
[/mm]
die p-q-Formel überlasse ich dir
Steffi
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:21 Mo 30.01.2012 | | Autor: | Laura87 |
danke!
|
|
|
| |
|
> Die Gleichung [mm]9x^2-16y^2-54x-160y-463=0[/mm] ist die Gleichung
> einer Hyperbel. Bestimmen Sie den Mittelpunkt und die
> Halbachsenlängen der Hyperbel sowie die
> Gleichungen der Tangenten an der Stelle x = 9. Fertigen
> Sie eine Skizze an.
> Also der Mittelpunkt und die Halbachsen sind nicht das
> Problem. Durch ein paar Umformungen habe ich:
>
> [mm]9x^2-16y^2-54x-160y-463\ \ \red{=}\ \ \bruch{(x-3)^2}{4^2}-\bruch{(y-5)^2}{3^2}=1[/mm] ![[haee]](/images/smileys/haee.gif "[haee]") ![[kopfschuettel]](/images/smileys/kopfschuettel.gif "[kopfschuettel]")
Die erste Gleichung ist doch kompletter Unsinn !
Forme die Gleichung um, und kette nicht einfach alles
mögliche und unmögliche mit Gleichheitszeichen
aneinander !
LG
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:31 So 29.01.2012 | | Autor: | Laura87 |
also wir hatten das selbe nur bei der ellipse gemacht und da hatder prof. das auch so aufgeschrieben...
ich habe
[mm] 9x^2-16y^2-54x-160y-463=0 [/mm] teile durch 9 und 16
[mm] \bruch{x^2}{16}-\bruch{y^2}{9}-\bruch{6}{16}x-\bruch{10}{9}y-\bruch{463}{144}=0
[/mm]
und durch quadratische Ergänzung folgt
[mm] \bruch{(x-3)^2}{4^2}-\bruch{(y-5)^2}{3^2}=1
[/mm]
die Form die ich oben hingeschrieben habe, hat der prof. bei einer ähnlichen Aufgabe auch so gemacht. Deshalb habe ich es übernommen.
|
|
|
| |
|
> also wir hatten das selbe nur bei der ellipse gemacht und
> da hatder prof. das auch so aufgeschrieben...
>
> ich habe
>
> [mm]9x^2-16y^2-54x-160y-463=0[/mm] teile durch 9 und 16
>
> [mm]\bruch{x^2}{16}-\bruch{y^2}{9}-\bruch{6}{16}x-\bruch{10}{9}y-\bruch{463}{144}=0[/mm]
>
> und durch quadratische Ergänzung folgt
>
> [mm]\bruch{(x-3)^2}{4^2}-\bruch{(y-5)^2}{3^2}=1[/mm]
>
> die Form die ich oben hingeschrieben habe, hat der prof.
> bei einer ähnlichen Aufgabe auch so gemacht. Deshalb habe
> ich es übernommen.
Hallo Laura,
so wie du es hier jetzt dargestellt hast, ist alles in Ordnung.
Für die vorherige Fassung mit
[mm]9x^2-16y^2-54x-160y-463=\bruch{(x-3)^2}{4^2}-\bruch{(y-5)^2}{3^2}=1[/mm]
müsste aber 0=1 sein - und ob der Prof das wirklich so
geschrieben hat (falls er nicht zufälligerweise gerade
beduselt war), wage ich doch zu bezweifeln ... 
LG Al-Chw.
|
|
|
|
