Hüllenbildung < Moduln/Vektorraum < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 10:18 Di 21.05.2013 | | Autor: | Sakon |
| Aufgabe | (Konzept: Hüllenbildung)
In der Vorlesung [...] wurde definiert: Für Vektoren [mm] a_{1}, [/mm] ..., [mm] a_{m} \in \IR^{n} [/mm] ist
[mm] span\{a_{1}, ..., a_{m}\} [/mm] := [mm] \{\summe_{i=1}^{m}s_{i}*a_{i}:s_{1}, ..., s_{m} \in \IR\}
[/mm]
ein Untervektorraum des [mm] \IR^{n}.
[/mm]
Zeigen Sie, dass folgende Definition äquivalent ist: [mm] span\{a_{1}, ..., a_{m}\} [/mm] ist der kleinste Vektorraum, der [mm] a_{1}, [/mm] ..., [mm] a_{m} [/mm] enthält, d.h.
[mm] span\{a_{1}, ..., a_{m}\} [/mm] = [mm] \bigcap_{U=u}U
[/mm]
mit = [mm] u\{U\subseteq \IR^{n}: U ist Untervektorraum, \{a_{1}, ..., a_{m}\} \subset U\}
[/mm]
Hinweis: Zwei Inklusionen zeigen! |
Guten Morgen,
zu dieser Aufgabe brauche ich einen Lösungsansatz. Was für Inklusionen muss / kann man da zeigen?
Ohne den Hinweis hätte ich den Ansatz verfolgt, per Induktion zu zeigen, dass jeder weitere linear unabhängige Vektor eine weitere Dimension bedeutet. (Den Dimensionsbegriff haben wir noch nicht behandelt.) Aber davon abgesehen, dass das wohl recht umständlich werden würde, wäre es wohl eine Themaverfehlung, glaube ich.
Zu diesem Thema habe ich bislang auch nur die obere Definition im Internet gefunden (die mir soweit klar ist), mit der zu zeigenden Definition kann ich so gut wie nichts anfangen.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Gruß
Sascha
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moin,
> $ [mm] span\{a_{1}, ..., a_{m}\} [/mm] $ = $ [mm] \bigcap_{U=u}U [/mm] $
Hier sollst du sowohl [mm] $\subseteq$ [/mm] als auch [mm] $\supseteq$ [/mm] zeigen; am besten getrennt.
Die einfachere Richtung ist [mm] $\supseteq$: [/mm] Du musst zeigen (oder wissen), dass die Hülle nach deiner obigen Definition (mit der Summe) ein Untervektorraum ist. Damit ist sie in der Menge $u$ enthalten, also mit im Schnitt. Da immer [mm] $A\cap [/mm] B [mm] \subseteq [/mm] A$ gilt (und das auch auf beliebig viele Mengen erweiterbar), ist dann [mm] $\supseteq$ [/mm] schon erledigt.
Für [mm] $\subseteq$ [/mm] musst du zeigen, dass jedes Element aus der linken Menge in der rechten enthalten ist. Dazu als Hinweis: Es gilt $x [mm] \in [/mm] A [mm] \cap [/mm] B [mm] \gdw [/mm] x [mm] \in [/mm] A$ und $x [mm] \in [/mm] B$; auch das lässt sich auf beliebig viele Mengen verallgemeinern. Du musst also zeigen, dass jedes $x$ aus der linken Seite in jedem einzelnen Vektorraum, über den du schneidest, enthalten ist.
lg
Schadow
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