Homotopie und einf. Zus.hang < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:30 Mi 27.04.2005 | | Autor: | Bastiane |
Hallo schon wieder...
Habe mir mal die Vorlsungssachen zur Homotopie engeguckt und hätte dazu ein paar Verständnisfragen.
Nun ist es doch umgangssprachlich so, dass zwei Kurven homotop sind, wenn man sie quasi ineinander überführen kann (also durch eine stetige Abbildung und so). Was genau ist dann denn aber die Homotopie selbst? Sind das dann alle Kurven, die zwischen diesen beiden Kurven liegen oder wie stelle ich mir diese stetige Abbildung vor?
Dann verstehe ich die Definition von frei homotop nicht so wirklich. Ist das das gleiche, wie punkthomotop? Das bedeutet doch, dass ich die Kurve quasi auf einen Punkt zusammenziehen kann.
Und dann noch ein paar Fragen zu den Beispielen aus der VL:
1) [mm] \IR^2\backslash\{0\} [/mm] ist nicht einfach zusammenhängend
das ist doch so, weil ich eine Kurve, die um den Nullpunkt herumgeht, nicht auf einen Punkt zusammengezogen werden kann, weil da eben eine Definitionslücke (nennt man das hier so?) ist.
Und aus dem gleichen Grund ist doch auch das zweite Beispiel, oder?
2) [mm] \{x\in\IR^2:r<||x||
3) [mm] \IR^n\backslash\{0\} [/mm] für [mm] n\ge{3} [/mm] ist einf. zush.
Warum ist das denn dann so? Das verstehe ich irgendwie nicht... ![[kopfschuettel]](/images/smileys/kopfschuettel.gif "[kopfschuettel]") ![[haee]](/images/smileys/haee.gif "[haee]") ![[kopfkratz]](/images/smileys/kopfkratz.gif "[kopfkratz]")
4) n-dim Sphäre [mm] S^n [/mm] im [mm] \IR^{n+1} [/mm] für [mm] n\ge{3} [/mm] ist einf. zush.
Das wäre dann ja z. B. eine Kugeloberfläche im [mm] \IR^3, [/mm] und die kann man ja auf jeden beliebigen Punkt zusammenziehen. Aber die Null muss doch drin sein, oder? Sonst ist die Sphäre doch nicht zush.!?
So, ich glaub', das war's auch schon. 
Viele Grüße und schönen Abend noch
Bastiane
![[clown]](/images/smileys/clown.gif "[clown]")
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:15 Mi 27.04.2005 | | Autor: | Stefan |
Liebe Christiane!
> Nun ist es doch umgangssprachlich so, dass zwei Kurven
> homotop sind, wenn man sie quasi ineinander überführen kann
> (also durch eine stetige Abbildung und so). Was genau ist
> dann denn aber die Homotopie selbst?
Das ist die stetige Abbildung: $H: [0,1] [mm] \times [/mm] [0,1] [mm] \to [/mm] X$ selbst.
> Sind das dann alle
> Kurven, die zwischen diesen beiden Kurven liegen oder wie
> stelle ich mir diese stetige Abbildung vor?
Das Bild dieser Abbildung kannst du dir so vorstellen, ja.
> Dann verstehe ich die Definition von frei homotop nicht so
> wirklich. Ist das das gleiche, wie punkthomotop?
Nein. Zwei Schleifen heißen frei homotop, wenn es eine Homotopie gibt, so dass alle Wege, die in der Homotopie auftauchen, wieder Schleifen sind (die aber nicht notwendigerweise alle den gleichen Anfangs-/Endpunkt haben müssen). Bei Punkthomotopie lässt man einen Punkt [mm] $x_0 \in [/mm] X$ fest, den alle Schleifen als Anfangs- und Endpunkt haben müssen.
Die Begriffe kann man auch für normale Wege (nicht notwendigerweise Schleifen) benutzen. Dann nennt man zwei Wege weghomotop, wenn alle in der Homotopie autretenden Wege den gleichen Anfangs- und Endpunkt haben müssen. Um die "normale" Homotopie davon deutlich zu unterscheiden, spricht man auch hier häufig von "frei homotop".
Beispiel: Betrachte die gelochte Ebene [mm] $\IR^2 \setminus\{0\}$ [/mm] und zwei Wege von $(1,0)$ nach $(-1,0)$, der eine soll durch den ersten und zweiten, der zweite durch den vierten und dritten Quadranten verlaufen. Dann sind die beiden Wege zwar (frei) homotop (indem ich mich sozusagen um den Nullpunkt herumwinde), aber nicht wegehomotop (dann müsste ich einmal zwangsläufig den Nullpunkt streifen). Eine gute geometrische Anschauung ist hier enorm wichtig!!!
> Und dann noch ein paar Fragen zu den Beispielen aus der
> VL:
> 1) [mm]\IR^2\backslash\{0\}[/mm] ist nicht einfach zusammenhängend
> das ist doch so, weil ich eine Kurve, die um den Nullpunkt
> herumgeht, nicht auf einen Punkt zusammengezogen werden
> kann, weil da eben eine Definitionslücke (nennt man das
> hier so?) ist.
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]") (allerdings würde ich es statt "Definitionslücke" nur "Loch" nennen).
> Und aus dem gleichen Grund ist doch auch das zweite
> Beispiel, oder?
> 2) [mm]\{x\in\IR^2:r<||x||
Genau.
3) [mm]\IR^n\backslash\{0\}[/mm] für [mm]n\ge{3}[/mm] ist einf. zush.
> Warum ist das denn dann so? Das verstehe ich irgendwie
> nicht...
Wieso? Ist doch völlig klar. Stell es dir doch mal geometrisch/bildlich vor. Nehmen wir an du hast eine Kurve im Raum. Die kannst du doch auf einen Punkt zusammenziehen, indem du dich um den Nullpunkt herumdrückst? Es ist sozusagen genug Platz im Raum!!
> 4) n-dim Sphäre [mm]S^n[/mm] im [mm]\IR^{n+1}[/mm] für [mm]n\ge{3}[/mm] ist einf.
> zush.
> Das wäre dann ja z. B. eine Kugeloberfläche im [mm]\IR^3,[/mm] und
> die kann man ja auf jeden beliebigen Punkt zusammenziehen.
Nein, es ist eine Kugeloberfläche im [mm] $\IR^4$!!! [/mm] Die Späre [mm] $S^2 \subset \IR^3$ [/mm] ist nicht einfach zusammenhängend!
> Aber die Null muss doch drin sein, oder? Sonst ist die
> Sphäre doch nicht zush.!?
Die Sphäre enthält doch nicht die $0$. Nein. Aber stelle dir bitte eine Späre im [mm] $\IR^4$ [/mm] vor, da ist wieder "mehr als genug Platz, um sich um die $0$ herumzuwinden". Ich gebe zu das ist schwierig, aber man kann es versuchen. 
Liebe Grüße
Stefan
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