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| Aufgabe | Es seien [mm] $\mathcal [/mm] A = [mm] \langle [/mm] A, [mm] f_{1}, [/mm] ..., [mm] f_{n} \rangle$ [/mm] und [mm] $\hat {\mathcal A} [/mm] = [mm] \langle \hat [/mm] A, [mm] \hat f_{1}, [/mm] ..., [mm] \hat f_{n} \rangle$ [/mm] zwei algebraische Strukturen mit der gleichen Struktur. Weiterhin sei [mm] $h\!\$ [/mm] ein Homomorphismus von [mm] $\mathcal [/mm] A$ nach [mm] $\hat {\mathcal A}$.
[/mm]
Beweisen Sie: Wenn [mm] $h\!\$ [/mm] bijektiv ist, so ist die Umkehrabbildung [mm] $h^{-1}$ [/mm] ebenfalls ein Homomorphismus von [mm] $\hat {\mathcal A}$ [/mm] nach [mm] $\mathcal [/mm] A$. |
Hallo,
ich habe bei dieser Aufgabe leider am Ende der Musterlösung ein Problem:
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Musterlösung:
Für beliebige Operationen [mm] $\hat f_{i} \in \hat {\mathcal A}, f_{i} \in \mathcal [/mm] A$ und beliebige Elemente [mm] $\hat a_{1}, [/mm] ..., [mm] \hat a_{m} \in \hat {\mathcal A}$ [/mm] müssen wir beweisen:
[mm] $f_{i} \left( h^{-1}(\hat a_{1}), ..., h^{-1}(\hat a_{m}) \right) [/mm] = [mm] h^{-1} \left( \hat f_{i}(\hat a_{1}, ..., \hat a_{m}) \right)$
[/mm]
Wir wenden nun [mm] $h\!\$ [/mm] auf beide Seiten der Gleichung an. Im Allgemeinen gilt dann nur, dass die Gültigkeit der neuen Gleichung aus der Gültigkeit der ursprünglichen Gleichung folgt. Da [mm] $h\!\$ [/mm] jedoch eine bijektive Abbildung ist, folgt hier jedoch auch die Gültigkeit der ersten Gleichung aus der zweiten.
$h [mm] \bigg( f_{i} \left( h^{-1}(\hat a_{1}), ..., h^{-1}(\hat a_{m}) \right) \bigg) [/mm] = h [mm] \bigg( h^{-1} \left( \hat f_{i}(\hat a_{1}, ..., \hat a_{m}) \right) \bigg)$
[/mm]
Da [mm] $h\!\$ [/mm] ein Homomorphismus ist, dürfen wir [mm] $h\!\$ [/mm] und [mm] $f_{i}$ [/mm] vertauschen.
[mm] $\hat f_{i} \bigg( [/mm] h [mm] \left( h^{-1}(\hat a_{1}) \right) [/mm] , ..., h [mm] \left( h^{-1}(\hat a_{m}) \right) \bigg) [/mm] = h [mm] \bigg( h^{-1} \left( \hat f_{i}(\hat a_{1}, ..., \hat a_{m}) \right) \bigg)$
[/mm]
Da [mm] $h\!\$ [/mm] immer noch eine bijektive Abbildung ist, gibt es zu jedem Element $y [mm] \in \hat [/mm] A$ ein eindeutiges Element $x [mm] \in [/mm] A$ mit [mm] $h^{-1}(y)=x$ [/mm] und [mm] $h(x)=y\!\$. [/mm] Insbesondere gilt also für alle $z [mm] \in \hat [/mm] A$ die Gleichung [mm] $h(h^{-1}(z))=z$.
[/mm]
[mm] $\hat f_{i}(\hat a_{1}, [/mm] ..., [mm] \hat a_{m}) [/mm] = [mm] \hat f_{i}(\hat a_{1}, [/mm] ..., [mm] \hat a_{m})$
[/mm]
Da jede Umformung die Gültigkeit genau erhalten hat, haben wir damit die ursprünglich benötigte Gleichung bewiesen.
Wir bemerken: Die beiden algebraischen Strukturen A und [mm] $\hat [/mm] A$ sind also isomorph.
------
Mich verwirrt diese Gleichung:
[mm] $\hat f_{i}(\hat a_{1}, [/mm] ..., [mm] \hat a_{m}) [/mm] = [mm] \hat f_{i}(\hat a_{1}, [/mm] ..., [mm] \hat a_{m})$
[/mm]
Stimmt das so bzw. wie ist diese Gleichung entstanden?
Es ist viel zu lesen und ich hoffe trotzdem, dass jemand bereit ist zu helfen.
Vielen Dank für die Mühe!
Gruß
el_grecco
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:44 Fr 13.07.2012 | | Autor: | hippias |
> Es seien [mm]\mathcal A = \langle A, f_{1}, ..., f_{n} \rangle[/mm]
> und [mm]\hat {\mathcal A} = \langle \hat A, \hat f_{1}, ..., \hat f_{n} \rangle[/mm]
> zwei algebraische Strukturen mit der gleichen Struktur.
> Weiterhin sei [mm]h\!\[/mm] ein Homomorphismus von [mm]\mathcal A[/mm] nach
> [mm]\hat {\mathcal A}[/mm].
>
> Beweisen Sie: Wenn [mm]h\!\[/mm] bijektiv ist, so ist die
> Umkehrabbildung [mm]h^{-1}[/mm] ebenfalls ein Homomorphismus von
> [mm]\hat {\mathcal A}[/mm] nach [mm]\mathcal A[/mm].
>
> Hallo,
>
> ich habe bei dieser Aufgabe leider am Ende der
> Musterlösung ein Problem:
>
> ------
> Musterlösung:
>
> Für beliebige Operationen [mm]\hat f_{i} \in \hat {\mathcal A}, f_{i} \in \mathcal A[/mm]
> und beliebige Elemente [mm]\hat a_{1}, ..., \hat a_{m} \in \hat {\mathcal A}[/mm]
> müssen wir beweisen:
>
> [mm]f_{i} \left( h^{-1}(\hat a_{1}), ..., h^{-1}(\hat a_{m}) \right) = h^{-1} \left( \hat f_{i}(\hat a_{1}, ..., \hat a_{m}) \right)[/mm]
>
> Wir wenden nun [mm]h\!\[/mm] auf beide Seiten der Gleichung an. Im
> Allgemeinen gilt dann nur, dass die Gültigkeit der neuen
> Gleichung aus der Gültigkeit der ursprünglichen Gleichung
> folgt. Da [mm]h\!\[/mm] jedoch eine bijektive Abbildung ist, folgt
> hier jedoch auch die Gültigkeit der ersten Gleichung aus
> der zweiten.
>
> [mm]h \bigg( f_{i} \left( h^{-1}(\hat a_{1}), ..., h^{-1}(\hat a_{m}) \right) \bigg) = h \bigg( h^{-1} \left( \hat f_{i}(\hat a_{1}, ..., \hat a_{m}) \right) \bigg)[/mm]
>
> Da [mm]h\!\[/mm] ein Homomorphismus ist, dürfen wir [mm]h\!\[/mm] und [mm]f_{i}[/mm]
> vertauschen.
>
> [mm]\hat f_{i} \bigg( h \left( h^{-1}(\hat a_{1}) \right) , ..., h \left( h^{-1}(\hat a_{m}) \right) \bigg) = h \bigg( h^{-1} \left( \hat f_{i}(\hat a_{1}, ..., \hat a_{m}) \right) \bigg)[/mm]
>
> Da [mm]h\!\[/mm] immer noch eine bijektive Abbildung ist, gibt es zu
> jedem Element [mm]y \in \hat A[/mm] ein eindeutiges Element [mm]x \in A[/mm]
> mit [mm]h^{-1}(y)=x[/mm] und [mm]h(x)=y\!\[/mm]. Insbesondere gilt also für
> alle [mm]z \in \hat A[/mm] die Gleichung [mm]h(h^{-1}(z))=z[/mm].
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> [mm]\hat f_{i}(\hat a_{1}, ..., \hat a_{m}) = \hat f_{i}(\hat a_{1}, ..., \hat a_{m})[/mm]
>
> Da jede Umformung die Gültigkeit genau erhalten hat, haben
> wir damit die ursprünglich benötigte Gleichung bewiesen.
>
> Wir bemerken: Die beiden algebraischen Strukturen A und
> [mm]\hat A[/mm] sind also isomorph.
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> Mich verwirrt diese Gleichung:
>
> [mm]\hat f_{i}(\hat a_{1}, ..., \hat a_{m}) = \hat f_{i}(\hat a_{1}, ..., \hat a_{m})[/mm]
>
> Stimmt das so bzw. wie ist diese Gleichung entstanden?
Ausgehend von einer unbewiesenen Beziehung [mm] ($f_{i} \left( h^{-1}(\hat a_{1}), ..., h^{-1}(\hat a_{m}) \right) [/mm] = [mm] h^{-1} \left( \hat f_{i}(\hat a_{1}, ..., \hat a_{m}) \right)) [/mm] wurde durch Aequivalenzumformung eine wahre Behauptung [mm] ($f_{i}(\hat a_{1}, [/mm] ..., [mm] \hat a_{m}) [/mm] = [mm] \hat f_{i}(\hat a_{1}, [/mm] ..., [mm] \hat a_{m})$) [/mm] hergeleitet. Dann muss auch die urspruengliche Gleichung stimmen. Hergeleitet wurde sie, indem auf die Ausgangsgleichung $h$ angewendet wurde und seine Homomorphismuseigenschaft ausgenutzt wurde. Ich persoehnlich haette den Beweis wohl etwas anders notiert.
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> Es ist viel zu lesen und ich hoffe trotzdem, dass jemand
> bereit ist zu helfen.
>
> Vielen Dank für die Mühe!
>
> Gruß
> el_grecco
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Hallo hippias,
also die Beweisführung ist mir bis auf die letzte Gleichung klar. Ich habe leider nur nicht verstanden, wie man einerseits ausgehend von der 3. Gleichung auf die Gleichung $ [mm] \hat f_{i}(\hat a_{1}, [/mm] ..., [mm] \hat a_{m}) [/mm] = [mm] \hat f_{i}(\hat a_{1}, [/mm] ..., [mm] \hat a_{m}) [/mm] $ kommt und warum man an ihr ablesen kann, dass die 1. Gleichung (welche zu beweisen war) gilt?
Hoffe ich konnte deutlich machen, wo ich hänge...
Gruß
el_grecco
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 17:44 Fr 13.07.2012 | | Autor: | hippias |
> Hallo hippias,
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> also die Beweisführung ist mir bis auf die letzte
> Gleichung klar. Ich habe leider nur nicht verstanden, wie
> man einerseits ausgehend von der 3. Gleichung auf die
> Gleichung [mm]\hat f_{i}(\hat a_{1}, ..., \hat a_{m}) = \hat f_{i}(\hat a_{1}, ..., \hat a_{m})[/mm]
> kommt und warum man an ihr ablesen kann, dass die 1.
> Gleichung (welche zu beweisen war) gilt?
>
> Hoffe ich konnte deutlich machen, wo ich hänge...
>
> Gruß
> el_grecco
>
Beim Uebergang von der 3ten ($ [mm] \hat f_{i} \bigg( [/mm] h [mm] \left( h^{-1}(\hat a_{1}) \right) [/mm] , ..., h [mm] \left( h^{-1}(\hat a_{m}) \right) \bigg) [/mm] = h [mm] \bigg( h^{-1} \left( \hat f_{i}(\hat a_{1}, ..., \hat a_{m}) \right) \bigg) [/mm] $) zur 4ten Gleichung ($ [mm] \hat f_{i}(\hat a_{1}, [/mm] ..., [mm] \hat a_{m}) [/mm] = [mm] \hat f_{i}(\hat a_{1}, [/mm] ..., [mm] \hat a_{m}) [/mm] $ - nach meiner Zaehlung!) wird ausgenutzt, dass $h$ und [mm] $h^{-1}$ [/mm] sich zur identischen Abbildung aufheben.
Zum Beweisgedanken: Du hast eine Kette von Aequivalenzen - wobei man sich natuerlich im Zweifel ueberlegen muesste, ob die Schritte wirklich aequivalente Ergebnisse liefern - wobei die letzte von der Gestalt $z= z$, also offensichtlich wahr ist. Dann sind alle Gleichungen in der Aequivalenzkette wahr - eben weil die Gleichungen logisch aequivalent sind. Insbesondere ist dann auch die urspruengliche Gleichung wahr.
Vielleicht hast Du auch einen eigenen Beweis versucht; dann poste ihn, vielleicht ist er ja auch richtig und dann brauchst Du Dir um die Musterloesung keine Gedanken zu machen.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:06 Fr 13.07.2012 | | Autor: | el_grecco |
Hallo hippias,
> > Hallo hippias,
> >
> > also die Beweisführung ist mir bis auf die letzte
> > Gleichung klar. Ich habe leider nur nicht verstanden, wie
> > man einerseits ausgehend von der 3. Gleichung auf die
> > Gleichung [mm]\hat f_{i}(\hat a_{1}, ..., \hat a_{m}) = \hat f_{i}(\hat a_{1}, ..., \hat a_{m})[/mm]
> > kommt und warum man an ihr ablesen kann, dass die 1.
> > Gleichung (welche zu beweisen war) gilt?
> >
> > Hoffe ich konnte deutlich machen, wo ich hänge...
> >
> > Gruß
> > el_grecco
> >
> Beim Uebergang von der 3ten ([mm] \hat f_{i} \bigg( h \left( h^{-1}(\hat a_{1}) \right) , ..., h \left( h^{-1}(\hat a_{m}) \right) \bigg) = h \bigg( h^{-1} \left( \hat f_{i}(\hat a_{1}, ..., \hat a_{m}) \right) \bigg) [/mm])
> zur 4ten Gleichung ([mm] \hat f_{i}(\hat a_{1}, ..., \hat a_{m}) = \hat f_{i}(\hat a_{1}, ..., \hat a_{m})[/mm]
> - nach meiner Zaehlung!) wird ausgenutzt, dass [mm]h[/mm] und [mm]h^{-1}[/mm]
> sich zur identischen Abbildung aufheben.
>
O.K. Jetzt ist es mir klar. Manchmal sieht man den Wald vor Bäumen nicht mehr...
> Zum Beweisgedanken: Du hast eine Kette von Aequivalenzen -
> wobei man sich natuerlich im Zweifel ueberlegen muesste, ob
> die Schritte wirklich aequivalente Ergebnisse liefern -
> wobei die letzte von der Gestalt [mm]z= z[/mm], also offensichtlich
> wahr ist. Dann sind alle Gleichungen in der
> Aequivalenzkette wahr - eben weil die Gleichungen logisch
> aequivalent sind. Insbesondere ist dann auch die
> urspruengliche Gleichung wahr.
>
> Vielleicht hast Du auch einen eigenen Beweis versucht; dann
> poste ihn, vielleicht ist er ja auch richtig und dann
> brauchst Du Dir um die Musterloesung keine Gedanken zu
> machen.
Das habe ich gar nicht erst versucht, denn das würde wohl meinerseits noch mehr Verwirrung stiften. 
Ich bereite mich im Moment auf die Klausur vor und da gehe ich gerade die Aufgaben durch, die ich als eher unwichtig für die Klausur einstufe, aber man weiß ja nie...
Danke nochmal!
Gruß
el_grecco
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