Homomorphismus < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:18 Sa 26.02.2005 | | Autor: | newbie |
Uff, leider habe ich nicht merh so genau die Aufgabenstellung im Kopf, aber wir sollten ein Homomorphismus von [mm] (\IN [/mm] , max(a,b), 0) auf [mm] (2^{\IN}, \cup [/mm] , [mm] \emptyset) [/mm] nachweisen... könnte auch sein, dass es umgedreht war, wie gesagt bin ich mir da nicht mehr so sicher... Nur egal wie rum ich es drehe, so wirklich auf eine Lösung komme ich nicht, da ja ne Vereinigung sozusagen vereint, und nicht einzelne Elemente zurückliefert, wie die maxFunktion...
Gleich noch eine Verständnisfrage, muss ich bei einem Homomorphismus eine Bijektion zwischen den Mengen, also hier z.B. [mm] \IN [/mm] und [mm] 2^{\IN} [/mm] nachweisen?
Falls ihr zu dem Beispiel auch keine Lösung habt, könnt ihr mir ein Link zu einem Musterbeispiel zu Homomorphismus von Algebren geben?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:16 Sa 26.02.2005 | | Autor: | andreas |
hi
ich weiß zwar nicht wirklich um was für einen typ von algebra es sich hier handelt, aber als homomorphismus würde ich vorschlagen:
[m]\begin{array}{cccc} \varphi: & \mathbb{N} & \longrightarrow & 2^\mathbb{N} \\ & n & \longmapsto & \{1, 2, \hdots, n \} \end{array} [/m],
also z.b. [m] \varphi(0) = \emptyset, \; \varphi(1) = \{1 \}, \; \varphi(2) = \{1, 2 \} , \; \hdots [/m]. probiere nun mal die homomorphismus eigenschaft - also die verträglichkeit mit den verknüpfungen - nachzuweisen, dies heißt in diesm fall
[m] \varphi( \max (a, b)) = \varphi(a) \cup \varphi(b) [/m].
das kriegst du hoffentlich hin, wenn nicht frage nochmal nach!
zu deiner anderen frage: du musst für homomorphismen i.a. keine bijektivität zeigen, da diese nicht gefordert wird. bijektive homomorphismen heißen dann spetiell isomorphismen. in diesem speziellen fall gibt es aber gar keine bijektive abbildung zwischen diesen beiden mengen, da [mm] $\mathbb{N}$ [/mm] und [mm] $2^\mathbb{N}$ [/mm] nicht gleich mächtig sind (die erste menge ist abzählbar, die zweite überabzählbar), das aber nur am rande.
grüße
andreas
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:21 Sa 26.02.2005 | | Autor: | newbie |
Ok, deinen Lösungsweg habe ich verstanden, nur was mich die ganze Zeit durcheinander bringt ist das [mm] \IN [/mm] und dann [mm] 2^{ \IN }. [/mm] Mit dem letzteren ist sozusagen einfach die Potenzmenge gemeint, richtig?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:15 Sa 26.02.2005 | | Autor: | Astrid |
> Ok, deinen Lösungsweg habe ich verstanden, nur was mich die
> ganze Zeit durcheinander bringt ist das [mm]\IN[/mm] und dann [mm]2^{ \IN }.[/mm]
> Mit dem letzteren ist sozusagen einfach die Potenzmenge
> gemeint, richtig?
>
Ja, das ist eine Art und Weise, die Potenzmenge auszudrücken.
Viele Grüße
Astri
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