Homomorphismen Definition < Mengenlehre < Logik+Mengenlehre < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:15 Mi 08.05.2013 | | Autor: | Labrinth |
Guten Tag!
Homomorphismen sind strukturerhaltende Abbildungen.
Sind [mm] $(A,\cdot)$ $(A',\odot)$ [/mm] Mengen mit einer Verknüpfung, dann ist [mm] $f\colon A\longrightarrow [/mm] A'$ ein Homomorphismus, wenn [mm] $f(a\cdot b)=f(a)\odot [/mm] f(b)$.
Sind $A,A'$ Mengen, $R,R'$ Relationen, dann ist [mm] $f\colon A\longrightarrow [/mm] A'$ ein Homomorphismus, wenn [mm] $\forall a,b\in A:aRb\implies [/mm] f(a)R'f(b)$.
Hier liegt mein Problem. Schon bei diesen beiden Fällen sehe ich nicht den gemeinsamen Nenner. Wie kann man einen Homomorphismus (formal) so definieren, dass dieses beides Homomorphismen sind? Wie kann man eine Definition möglichst allgemein halten? Braucht man dafür schon Kategorienhteorie?
Beste Grüße,
Labrinth
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Hallo,
gleich vorneweg: von Kategorientheorie habe ich ehrlich gesagt keine Ahnung.
> Guten Tag!
>
> Homomorphismen sind strukturerhaltende Abbildungen.
>
> Sind [mm](A,\cdot)[/mm] [mm](A',\odot)[/mm] Mengen mit einer Verknüpfung,
> dann ist [mm]f\colon A\longrightarrow A'[/mm] ein Homomorphismus,
> wenn [mm]f(a\cdot b)=f(a)\odot f(b)[/mm].
Das ist ja eigentlich die klassische Definition eines Gruppenhmomorphismus. Von daher ist das hier:
>
> Sind [mm]A,A'[/mm] Mengen, [mm]R,R'[/mm] Relationen, dann ist [mm]f\colon A\longrightarrow A'[/mm]
> ein Homomorphismus, wenn [mm]\forall a,b\in A:aRb\implies f(a)R'f(b)[/mm].
für mich zunächst einmal eine Verallgemeinerung auf andersartige Strukturen. Ob man das (diese Verallgemeinerung) dann schon der Kategorientheorie zurechnet weiß ich, wie schon gesagt nicht, wage es aber leise zu bezweifeln.
Ich stelle deine Frage mal auf teilweise beantwortet.
Gruß, Diophant
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:56 Mi 08.05.2013 | | Autor: | Labrinth |
Danke schonmal für die Antwort!
> Hallo,
>
> gleich vorneweg: von Kategorientheorie habe ich ehrlich
> gesagt keine Ahnung.
Ich übrigens auch nicht.
>
> > Guten Tag!
> >
> > Homomorphismen sind strukturerhaltende Abbildungen.
> >
> > Sind [mm](A,\cdot)[/mm] [mm](A',\odot)[/mm] Mengen mit einer
> Verknüpfung,
> > dann ist [mm]f\colon A\longrightarrow A'[/mm] ein
> Homomorphismus,
> > wenn [mm]f(a\cdot b)=f(a)\odot f(b)[/mm].
>
> Das ist ja eigentlich die klassische Definition eines
> Gruppenhmomorphismus. Von daher ist das hier:
>
> >
> > Sind [mm]A,A'[/mm] Mengen, [mm]R,R'[/mm] Relationen, dann ist [mm]f\colon A\longrightarrow A'[/mm]
>
> > ein Homomorphismus, wenn [mm]\forall a,b\in A:aRb\implies f(a)R'f(b)[/mm].
>
> für mich zunächst einmal eine Verallgemeinerung auf
> andersartige Strukturen.
Eine solche Definition für Relationen habe ich in einem Skript (das ich leider nicht wiederfinde) gefunden. Ich hab mir dann auch gedacht, dass das ja eine Verallgemeinerung sein müsste, hab dann geguckt, welches Konzept gleich ist, auf das man eine allgemeine Definition zurückführen könnte, aber nichts gefunden. Natürlich kann man hierbei zunächst sagen $(A,R)$ eine Menge mit einer Relation (auf $A$), denn [mm] $(A,\cdot)$ [/mm] ist ja auch eine Menge mit einer Relation - allerdings nicht auf $A$, sondern zwischen [mm] $A\times [/mm] A$ und $A$, halt eine Abbildung.
Das zu den Überlegungen, die ich so hatte, bin aber nicht sehr weit gekommen damit. Komplizierter wird es dann halt bei [mm] $(A,(S_i))$
[/mm]
, wenn ich also eine ganze Familie von "Strukturen" habe - mehrere Relationen oder etwa Ringhomorphismus wo [mm] $(S_i)=(\cdot,+)$.
[/mm]
> Ob man das (diese
> Verallgemeinerung) dann schon der Kategorientheorie
> zurechnet weiß ich, wie schon gesagt nicht, wage es aber
> leise zu bezweifeln.
Ich hab halt die entsprechenden wiki-Artikel studiert, wo sehr viele Verweise auf Morphismen etc. stehen, die der Kategorientheorie angehören.
> Ich stelle deine Frage mal auf teilweise beantwortet.
>
>
> Gruß, Diophant
Beste Grüße,
Labrinth
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:19 Do 09.05.2013 | | Autor: | tobit09 |
Hallo Labrinth,
drei Aspekte habe ich beizusteuern:
1.
> Sind [mm](A,\cdot)[/mm] [mm](A',\odot)[/mm] Mengen mit einer Verknüpfung,
> dann ist [mm]f\colon A\longrightarrow A'[/mm] ein Homomorphismus,
> wenn [mm]f(a\cdot b)=f(a)\odot f(b)[/mm].
Das lässt sich äquivalent auch so formulieren: [mm] $f\colon A\to [/mm] A'$ ist genau dann ein Homomorphismus, wenn
[mm] $\forall a,b,c\in A\colon a*b=c\Rightarrow f(a)\odot [/mm] f(b)=f(c)$.
Fasst man nun $*$ und [mm] $\odot$ [/mm] als Relationen auf, indem man diese Abbildungen mit ihrem Graphen identifiziert, so lässt sich schreiben: [mm] $f\colon A\to [/mm] A'$ ist genau dann ein Homomorphismus, wenn
[mm] $\forall a,b,c\in A\colon ((a,b),c)\in *\Rightarrow ((f(a),f(b)),f(c))\in\odot$.
[/mm]
> Sind [mm]A,A'[/mm] Mengen, [mm]R,R'[/mm] Relationen, dann ist [mm]f\colon A\longrightarrow A'[/mm]
> ein Homomorphismus, wenn [mm]\forall a,b\in A:aRb\implies f(a)R'f(b)[/mm].
[mm] $f\colon A\to [/mm] A'$ ist also in dieser Situation genau dann ein Homomorphismus, wenn
[mm] $\forall a,b\in A\colon (a,b)\in R\Rightarrow (f(a),f(b))\in [/mm] R'$.
> Hier liegt mein Problem. Schon bei diesen beiden Fällen
> sehe ich nicht den gemeinsamen Nenner.
Vielleicht siehst du einen solchen in den Umformulierungen, die ich angegeben habe.
2.
> Wie kann man einen
> Homomorphismus (formal) so definieren, dass dieses beides
> Homomorphismen sind? Wie kann man eine Definition
> möglichst allgemein halten?
Da würde ich die Prädikatenlogik erster Stufe vorschlagen. Siehe z.B. Abschnitt 5.2 in ![[]](/images/popup.gif) diesem Skript hier.
Die Paare $(A,*)$, wobei $*$ eine Verknüpfung auf der Menge $A$ ist, entsprechen gerade den [mm] $\sigma$-Strukturen [/mm] mit [mm] $\sigma=\{*\}$, [/mm] wobei $*$ ein 2-stelliges Funktionssymbol ist.
Die Paare $(A,R)$ mit $R$ eine (zweistellige) Relation auf der Menge $A$ entsprechen gerade den [mm] $\sigma$-Strukturen [/mm] mit [mm] $\sigma=\{\dot{R}\}$, [/mm] wobei [mm] $\dot{R}$ [/mm] ein zweistelliges Relationssymbol ist.
Ringe lassen sich z.B. als spezielle [mm] $\sigma$-Strukturen [/mm] mit [mm] $\sigma=\{+,*,0,1,-\}$ [/mm] auffassen, wobei $+$ und $*$ zweistellige Funktionssymbole, $0$ und $1$ Konstantensymbole und $-$ ein einstelliges Funktionssymbol sind.
Seien [mm] $\mathfrak{A}$ [/mm] und [mm] $\mathfrak{A}'$ [/mm] Strukturen über der Signatur [mm] $\sigma$. [/mm] Dann versteht man unter einem Homomorphismus von [mm] $\mathfrak{A}$ [/mm] nach [mm] $\mathfrak{A}'$ [/mm] eine Abbildung [mm] $f\colon A\to [/mm] A'$ mit
[mm] $f(c^\mathfrak{A})=c^{\mathfrak{A}'}$ [/mm] für alle Konstantensymbole [mm] $c\in\sigma$
[/mm]
[mm] $f(g^\mathfrak{A}(a_1,\ldots,a_n))=g^{\mathfrak{A}'}(f(a_1),\ldots,f(a_n))$ [/mm] für alle $n$-stelligen Funktionssymbole [mm] $g\in\sigma$ [/mm] und alle [mm] $a_1,\ldots,a_n\in [/mm] A$
[mm] $(a_1,\ldots,a_n)\in R^\mathfrak{A}\Rightarrow (f(a_1),\ldots,f(a_n))\in R^{\mathfrak{A}'}$ [/mm] für alle $n$-stelligen Relationssymbole [mm] $R\in\sigma$ [/mm] und alle [mm] $a_1,\ldots,a_n\in [/mm] A$.
(Etwas Vorsicht ist geboten: Es gibt auch Autoren, die für den Begriff Homomorphismus [mm] $\gdw$ [/mm] statt [mm] $\Rightarrow$ [/mm] für die Relationszeichen fordern.)
3.
> Braucht man dafür schon
> Kategorienhteorie?
In der Kategorientheorie sind die sogenannten Morphismen sehr allgemein gehalten. In diesem Rahmen müssen Morphismen noch nicht einmal Abbildungen sein. Daher glaube ich nicht, dass Kategorientheorie das ist, was du suchst.
Viele Grüße
Tobias
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:40 Mo 13.05.2013 | | Autor: | Labrinth |
> Hallo Labrinth,
>
>
> drei Aspekte habe ich beizusteuern:
>
>
> 1.
> > Sind [mm](A,\cdot)[/mm] [mm](A',\odot)[/mm] Mengen mit einer Verknüpfung,
> > dann ist [mm]f\colon A\longrightarrow A'[/mm] ein Homomorphismus,
> > wenn [mm]f(a\cdot b)=f(a)\odot f(b)[/mm].
> Das lässt sich
> äquivalent auch so formulieren: [mm]f\colon A\to A'[/mm] ist genau
> dann ein Homomorphismus, wenn
>
> [mm]\forall a,b,c\in A\colon a*b=c\Rightarrow f(a)\odot f(b)=f(c)[/mm].
>
> Fasst man nun [mm]*[/mm] und [mm]\odot[/mm] als Relationen auf, indem man
> diese Abbildungen mit ihrem Graphen identifiziert, so
> lässt sich schreiben: [mm]f\colon A\to A'[/mm] ist genau dann ein
> Homomorphismus, wenn
>
> [mm]\forall a,b,c\in A\colon ((a,b),c)\in *\Rightarrow ((f(a),f(b)),f(c))\in\odot[/mm].
>
>
> > Sind [mm]A,A'[/mm] Mengen, [mm]R,R'[/mm] Relationen, dann ist [mm]f\colon A\longrightarrow A'[/mm]
> > ein Homomorphismus, wenn [mm]\forall a,b\in A:aRb\implies f(a)R'f(b)[/mm].
>
> [mm]f\colon A\to A'[/mm] ist also in dieser Situation genau dann ein
> Homomorphismus, wenn
>
> [mm]\forall a,b\in A\colon (a,b)\in R\Rightarrow (f(a),f(b))\in R'[/mm].
>
> > Hier liegt mein Problem. Schon bei diesen beiden Fällen
> > sehe ich nicht den gemeinsamen Nenner.
> Vielleicht siehst du einen solchen in den
> Umformulierungen, die ich angegeben habe.
>
>
> 2.
> > Wie kann man einen
> > Homomorphismus (formal) so definieren, dass dieses beides
> > Homomorphismen sind? Wie kann man eine Definition
> > möglichst allgemein halten?
> Da würde ich die Prädikatenlogik erster Stufe
> vorschlagen. Siehe z.B. Abschnitt 5.2 in
> diesem Skript hier.
>
> Die Paare [mm](A,*)[/mm], wobei [mm]*[/mm] eine Verknüpfung auf der Menge [mm]A[/mm]
> ist, entsprechen gerade den [mm]\sigma[/mm]-Strukturen mit
> [mm]\sigma=\{*\}[/mm], wobei [mm]*[/mm] ein 2-stelliges Funktionssymbol ist.
> Die Paare [mm](A,R)[/mm] mit [mm]R[/mm] eine (zweistellige) Relation auf der
> Menge [mm]A[/mm] entsprechen gerade den [mm]\sigma[/mm]-Strukturen mit
> [mm]\sigma=\{\dot{R}\}[/mm], wobei [mm]\dot{R}[/mm] ein zweistelliges
> Relationssymbol ist.
> Ringe lassen sich z.B. als spezielle [mm]\sigma[/mm]-Strukturen mit
> [mm]\sigma=\{+,*,0,1,-\}[/mm] auffassen, wobei [mm]+[/mm] und [mm]*[/mm] zweistellige
> Funktionssymbole, [mm]0[/mm] und [mm]1[/mm] Konstantensymbole und [mm]-[/mm] ein
> einstelliges Funktionssymbol sind.
>
> Seien [mm]\mathfrak{A}[/mm] und [mm]\mathfrak{A}'[/mm] Strukturen über der
> Signatur [mm]\sigma[/mm]. Dann versteht man unter einem
> Homomorphismus von [mm]\mathfrak{A}[/mm] nach [mm]\mathfrak{A}'[/mm] eine
> Abbildung [mm]f\colon A\to A'[/mm] mit
>
> [mm]f(c^\mathfrak{A})=c^{\mathfrak{A}'}[/mm] für alle
> Konstantensymbole [mm]c\in\sigma[/mm]
>
> [mm]f(g^\mathfrak{A}(a_1,\ldots,a_n))=g^{\mathfrak{A}'}(f(a_1),\ldots,f(a_n))[/mm]
> für alle [mm]n[/mm]-stelligen Funktionssymbole [mm]g\in\sigma[/mm] und alle
> [mm]a_1,\ldots,a_n\in A[/mm]
> [mm](a_1,\ldots,a_n)\in R^\mathfrak{A}\Rightarrow (f(a_1),\ldots,f(a_n))\in R^{\mathfrak{A}'}[/mm]
> für alle [mm]n[/mm]-stelligen Relationssymbole [mm]R\in\sigma[/mm] und alle
> [mm]a_1,\ldots,a_n\in A[/mm].
>
> (Etwas Vorsicht ist geboten: Es gibt auch Autoren, die für
> den Begriff Homomorphismus [mm]\gdw[/mm] statt [mm]\Rightarrow[/mm] für die
> Relationszeichen fordern.)
>
>
> 3.
> > Braucht man dafür schon
> > Kategorienhteorie?
> In der Kategorientheorie sind die sogenannten Morphismen
> sehr allgemein gehalten. In diesem Rahmen müssen
> Morphismen noch nicht einmal Abbildungen sein. Daher glaube
> ich nicht, dass Kategorientheorie das ist, was du suchst.
>
>
> Viele Grüße
> Tobias
Hallo Tobias, zu Folgendem bin ich gekommen:
Ist [mm] $(A_i)_{i\in I}$ [/mm] ein System von Mengen, so heißt eine Teilmenge
[mm] $R\subseteq\prod A_i$
[/mm]
eine [mm] $I$-\emph{stellige Relation auf dem Mengensystem} $(A_i)$.
[/mm]
Ist [mm] $(A_i)_{i\in I_1}$ [/mm] ein System von Mengen, [mm] $(a_i)_{i\in I_2}$ [/mm] ein System von Elementen aus [mm] $\bigcup A_i$ [/mm] und [mm] $(R_i)_{i\in I_3}$ [/mm] ein System von [mm] $I_1$-stelligen [/mm] Relationen auf dem Mengensystem [mm] $(A_i)$, [/mm] so heißt
[mm] $\left((A_i),(a_i),(R_i)\big.\right)$
[/mm]
eine [mm] \emph{Struktur}. $A_i\in\{A_i\}$ [/mm] heißt eine [mm] \emph{Trägermenge}, $a_i\in\{a_i\}$ [/mm] heißt eine [mm] \emph{Konstante}.
[/mm]
Sind [mm] $\left((A_i)_{i\in I_1},(a_i)_{i\in I_2},(R_i)_{i\in I_3}\big.\right)$, $\left((B_i)_{i\in I_1},(b_i)_{i\in I_2},(S_i)_{i\in I_3}\big.\right)$ [/mm] zwei Strukturen, so heißt eine Abbildung [mm] $\varphi\colon\bigcup A_i\longrightarrow\bigcup B_i$ [/mm] ein [mm] \emph{Homomorphismus}, [/mm] falls
(i) [mm] $\displaystyle\forall i\in I_1\left(\forall a\in A_i\left(\varphi(a)\in B_i\big.\right)\Big.\right)$,
[/mm]
(ii) [mm] \displaystyle\forall i\in I_2\left(\varphi(a_i)=b_i\big.\right)$,
[/mm]
(iii) [mm] $\forall i\in I_3\left(\forall(x_\iota)_{\iota\in I_1}\in R_i\left(\left(\varphi(x_\iota)\big.\right)_{\iota\in I_1}\right)\in S_i\bigg.\right)$.
[/mm]
Sind [mm] $\left((A_i)_{i\in I_1},(a_i)_{i\in I_2},(R_i)_{i\in I_3}\big.\right)$, $\left((B_i)_{i\in I_1},(b_i)_{i\in I_2},(S_i)_{i\in I_3}\big.\right)$ [/mm] zwei Strukturen und ist [mm] $\varphi\colon\bigcup A_i\longrightarrow\bigcup B_i$ [/mm] ein Homomorphismus, so heißt [mm] $\varphi$ [/mm] ein [mm] \emph{Isomorphismus}, [/mm] falls [mm] $\varphi$ [/mm] bijektiv ist und [mm] $\varphi^{-1}$ [/mm] ebenfalls ein Homomorphismus ist. Zwei Strukturen heißen [mm] \emph{isomorph}, [/mm] falls es einen Isomorphismus zwischen ihnen gibt. Man schreibt dann
[mm] \left((A_i)_{i\in I_1},(a_i)_{i\in I_2},(R_i)_{i\in I_3}\big.\right)\cong\left((B_i)_{i\in I_1},(b_i)_{i\in I_2},(S_i)_{i\in I_3}\big.\right)\,.
[/mm]
Sind [mm] $(G,\cdot)$, $(H,\ast)$ [/mm] zwei Gruppen, so heißt [mm] $\varphi\colon G\longrightarrow [/mm] H$ ein [mm] \emph{Gruppenhomomorphismus}, [/mm] falls [mm] $\varphi$ [/mm] ein Homomorphismus zwischen den Strukturen
[mm] $\left((G,G,G),(1_G),(\cdot)\big.\right)\quad\textnormal{und}\quad\left((H,H,H),(1_H),(\ast)\big.\right)$
[/mm]
ist.
Sind [mm] $(K,+,\cdot,\le)$, $(F,\oplus,\odot,\preceq)$ [/mm] zwei angeordnete Körper, so heißt [mm] $\varphi\colon K\longrightarrow [/mm] F$ ein [mm] \emph{Körperhomomorphismus}, [/mm] falls [mm] $\varphi$ [/mm] ein Homomorphismus zwischen den Strukturen
[mm] $\left((K,K,K),(0_K,1_K),(\cdot,+,(\le\!\!\times K))\big.\right)$ [/mm] und [mm] $\left((F,F,F),(0_F,1_F),(\odot,\oplus,(\preceq\!\!\times K))\big.\right)$
[/mm]
ist.
Ist das so alles Ok? Vielen Dank schonmal.
Beste Grüße, labrinth
P.S.: Sorry für die komische Formatierung, aber ich hab das bei mir aus [mm] \LaTeX [/mm] kopiert.
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 05:59 Di 14.05.2013 | | Autor: | tobit09 |
Hast du dir die ganzen Definitionen selbst überlegt oder woher hast du sie?
Hat es einen besonderen Grund, dass du die Möglichkeit MEHRERER Trägermengen vorsiehst? Hast du ein bestimmtes Beispiel im Hinterkopf, wo nicht alle Trägermengen übereinstimmen?
> Ist das so alles Ok?
Ich kann allem folgen und die von dir angegebenen Definitionen eines Gruppenhomomorphismus' bzw. eines Homomorphismus' angeordneter Körper sind äquivalent zu den üblichen Definitionen. Insofern alles ok! ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
Vielleicht liegt es daran, dass ich schon sehr an die Prädikatenlogik der ersten Stufe gewöhnt bin: Mir erscheinen die Definitionen etwas eigentümlich:
1. Warum ist vorgesehen, dass sämtliche Relationen [mm] $I_1$-stellig [/mm] sind? Warum sind z.B. im Falle [mm] $I_1=\{1,2,3\}$ [/mm] keine Relationen [mm] $R\subseteq A_1\times A_1\times A_2$ [/mm] denkbar?
2. Während für Relationen deren Stelligkeit genau festgelegt ist, ist für Konstanten nicht festgelegt, aus welchem [mm] $A_i$ [/mm] sie stammen.
3. Abbildungen zwischen den Trägermengen sind nicht modelliert. Stattdessen fasst du sie als spezielle Relationen auf. Dann wäre es nur konsequent, auch Konstanten als spezielle Relationen aufzufassen.
4. Homomorphismen [mm] $\varphi\colon\bigcup_{i\in I_1}A_i\to\bigcup_{i\in I_1}B_i$ [/mm] entsprechen kanonisch gewissen Familie von Abbildungen [mm] $(\varphi_i)_{i\in I_1}$ [/mm] mit [mm] $\varphi_i\colon A_i\to B_i$. [/mm] Allerdings sind in diesem Sinne nur solche Familien [mm] $(\varphi_i)_{i\in I_1}$ [/mm] zugelassen, für die [mm] $\varphi_i|_{A_i\cap A_j}=\varphi_j|_{A_i\cap A_j}$ [/mm] für alle [mm] $i,j\in I_1$ [/mm] gilt. Ich fände es angemessener, auf diese implizite Forderung zu verzichten und beliebige Familien [mm] $(\varphi_i)_{i\in I_1}$ [/mm] mit [mm] $\varphi_i\colon A_i\to B_i$, [/mm] die mit Konstanten und Relationen verträglich sind, als Homomorphismen zuzulassen.
Fazit: Alles korrekt. Die Zweckmäßigkeit und Stimmigkeit der Definitionen lässt sich noch verbessern.
Viele Grüße
Tobias
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 08:09 Di 14.05.2013 | | Autor: | Labrinth |
Hallo
> Hast du dir die ganzen Definitionen selbst überlegt oder
> woher hast du sie?
>
Ja, das habe ich. Natürlich von Begriffen und so von deinem Skript motiviert, aber im Groben selbst gebacken.
>
> Hat es einen besonderen Grund, dass du die Möglichkeit
> MEHRERER Trägermengen vorsiehst? Hast du ein bestimmtes
> Beispiel im Hinterkopf, wo nicht alle Trägermengen
> übereinstimmen?
Siehe unten.
>
>
> > Ist das so alles Ok?
> Ich kann allem folgen und die von dir angegebenen
> Definitionen eines Gruppenhomomorphismus' bzw. eines
> Homomorphismus' angeordneter Körper sind äquivalent zu
> den üblichen Definitionen. Insofern alles ok!
>
>
> Vielleicht liegt es daran, dass ich schon sehr an die
> Prädikatenlogik der ersten Stufe gewöhnt bin: Mir
> erscheinen die Definitionen etwas eigentümlich:
>
> 1. Warum ist vorgesehen, dass sämtliche Relationen
> [mm]I_1[/mm]-stellig sind? Warum sind z.B. im Falle [mm]I_1=\{1,2,3\}[/mm]
> keine Relationen [mm]R\subseteq A_1\times A_1\times A_2[/mm]
> denkbar?
Also innerhalb meiner Definition würde ich sagen: Dann wähle halt [mm] $I_1'=\{1,2,3,4\}$, [/mm] setze [mm] $A_4=A_1$ [/mm] und betrachte die Relation $R'$ mit [mm] $R'(a_1,a_2,a_3,a_4)\iff R(a_1,a_4,a_2)\wedge a_3\in A_3$. [/mm] Aber ich kann mir auch gerade kein konkretes Beispiel überlegen.
> 2. Während für Relationen deren Stelligkeit genau
> festgelegt ist, ist für Konstanten nicht festgelegt, aus
> welchem [mm]A_i[/mm] sie stammen.
Hier sehe ich nicht, wofür?
> 3. Abbildungen zwischen den Trägermengen sind nicht
> modelliert. Stattdessen fasst du sie als spezielle
> Relationen auf. Dann wäre es nur konsequent, auch
> Konstanten als spezielle Relationen aufzufassen.
Du meinst, wir haben eine Konstante [mm] $a_{i_0}\in A_{i_0}$ [/mm] und identifizieren sie mit [mm] $R\subseteq\prod A_I$ [/mm] mit [mm] $R(x_i)\iff x_{i_0}=a_{i_0}\wedge\forall i\not=i_0=\operatorname{pr}_i(R)=A_i$?
[/mm]
> 4. Homomorphismen [mm]\varphi\colon\bigcup_{i\in I_1}A_i\to\bigcup_{i\in I_1}B_i[/mm]
> entsprechen kanonisch gewissen Familie von Abbildungen
> [mm](\varphi_i)_{i\in I_1}[/mm] mit [mm]\varphi_i\colon A_i\to B_i[/mm].
> Allerdings sind in diesem Sinne nur solche Familien
> [mm](\varphi_i)_{i\in I_1}[/mm] zugelassen, für die
> [mm]\varphi_i|_{A_i\cap A_j}=\varphi_j|_{A_i\cap A_j}[/mm] für alle
> [mm]i,j\in I_1[/mm] gilt. Ich fände es angemessener, auf diese
> implizite Forderung zu verzichten und beliebige Familien
> [mm](\varphi_i)_{i\in I_1}[/mm] mit [mm]\varphi_i\colon A_i\to B_i[/mm], die
> mit Konstanten und Relationen verträglich sind, als
> Homomorphismen zuzulassen.
Ja, dies ist sogar notwendig, wie mir aufgefallen ist: Betrachte [mm] $A_1=\{1,2\}$, $A_2=\{2,3\}$, [/mm] die Relation [mm] $f:A_i\to A_2,\ n\mapsto [/mm] n+1$, sowie [mm] $B_1=\{1,2\}$, $B_2=\{3,4\}$, [/mm] die Relation [mm] $g:B_1\to B_2$, $n\mapsto [/mm] n+2$. Die wird man ja wohl also isomorph verstehen. Aber mit meiner ursprünglichen Definition komme ich nicht weiter, weil $2$ sowohl auf $2$ als Urbild als auf $3$ als Bild abgebildet werden müsste durch einen Isomorphismus. Daher brauche ich tatsächlich [mm] $\varphi_1:A_1\to B_1$, $1\mapsto [/mm] 1, [mm] 2\mapsto [/mm] 2$ und [mm] $\varphi_2:A_2\to B_2$, $2\mapsto [/mm] 3, [mm] 3\mapsto [/mm] 4$.
> Fazit: Alles korrekt. Die Zweckmäßigkeit und Stimmigkeit
> der Definitionen lässt sich noch verbessern.
>
>
> Viele Grüße
> Tobias
Stimmen meine weiteren Ideen soweit?
Beste Grüße,
Labrinth
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 13:42 Di 14.05.2013 | | Autor: | tobit09 |
> > Hast du dir die ganzen Definitionen selbst überlegt oder
> > woher hast du sie?
> >
> Ja, das habe ich. Natürlich von Begriffen und so von
> deinem Skript motiviert, aber im Groben selbst gebacken.
Das gefällt mir, dass du einfach mal selber an Definitionen bastelst! 
> > Hat es einen besonderen Grund, dass du die Möglichkeit
> > MEHRERER Trägermengen vorsiehst? Hast du ein bestimmtes
> > Beispiel im Hinterkopf, wo nicht alle Trägermengen
> > übereinstimmen?
> Siehe unten.
Alles klar. Eine Variante der Prädikatenlogik der ersten Stufe ist die mehrsortige Prädikatenlogik der ersten Stufe. Da sind auch mehrere Trägermengen möglich.
Weiteres denkbares Beispiel mit zwei Trägermengen: Topologische Räume [mm] $(X,\tau)$. [/mm] Diese lassen sich repräsentieren durch [mm] $((X,\tau),(),(R))$ [/mm] mit [mm] $R(x,U):\iff x\in [/mm] U$.
> > 1. Warum ist vorgesehen, dass sämtliche Relationen
> > [mm]I_1[/mm]-stellig sind? Warum sind z.B. im Falle [mm]I_1=\{1,2,3\}[/mm]
> > keine Relationen [mm]R\subseteq A_1\times A_1\times A_2[/mm]
> > denkbar?
> Also innerhalb meiner Definition würde ich sagen: Dann
> wähle halt [mm]I_1'=\{1,2,3,4\}[/mm], setze [mm]A_4=A_1[/mm] und betrachte
> die Relation [mm]R'[/mm] mit [mm]R'(a_1,a_2,a_3,a_4)\iff R(a_1,a_4,a_2)\wedge a_3\in A_3[/mm].
OK, so kann man natürlich tricksen. Allerdings kann man dann Strukturen, für die [mm] $A_4=A_1$ [/mm] gilt, auch mit solchen (z.B. auf Isomorphie) vergleichen, in denen die entsprechende Übereinstimmung nicht gilt. Das ist wohl kaum beabsichtigt.
Mir fällt gerade auf: Es sollte [mm] $A_3\not=\emptyset$ [/mm] gelten, sonst kann man aus $R'$ nicht die Relation $R$ zurückgewinnen.
> > 2. Während für Relationen deren Stelligkeit genau
> > festgelegt ist, ist für Konstanten nicht festgelegt, aus
> > welchem [mm]A_i[/mm] sie stammen.
> Hier sehe ich nicht, wofür?
Nehmen wir obiges Beispiel mit den topologischen Räumen. Als Variante könnten wir topologische Räume [mm] $(X,\tau)$ [/mm] mit einem ausgezeichneten Punkt [mm] $x_0\in [/mm] X$ betrachten. Diese entsprechen bestimmten Strukturen [mm] $((X,\tau),(x_0),R)$. [/mm] Es wäre nun aus meiner Sicht nicht sinnvoll, eine solche Struktur mit einer Struktur [mm] $((X',\tau'),(U'),R)$, [/mm] wobei [mm] $U'\in\tau'$, [/mm] zu vergleichen.
> > 3. Abbildungen zwischen den Trägermengen sind nicht
> > modelliert. Stattdessen fasst du sie als spezielle
> > Relationen auf. Dann wäre es nur konsequent, auch
> > Konstanten als spezielle Relationen aufzufassen.
> Du meinst, wir haben eine Konstante [mm]a_{i_0}\in A_{i_0}[/mm] und
> identifizieren sie mit [mm]R\subseteq\prod A_I[/mm] mit [mm]R(x_i)\iff x_{i_0}=a_{i_0}\wedge\forall i\not=i_0=\operatorname{pr}_i(R)=A_i[/mm]?
Du meinst sicherlich [mm] $R((x_i)_{i\in I_1}):\iff x_{i_0}=a_{i_0}$. [/mm] Ja, so meinte ich das. (Wobei das wieder nur funktioniert, wenn alle [mm] $A_i$ [/mm] für [mm] $i\in I_1\setminus\{i_0\}$ [/mm] nichtleer sind.)
> > 4. Homomorphismen [mm]\varphi\colon\bigcup_{i\in I_1}A_i\to\bigcup_{i\in I_1}B_i[/mm]
> > entsprechen kanonisch gewissen Familie von Abbildungen
> > [mm](\varphi_i)_{i\in I_1}[/mm] mit [mm]\varphi_i\colon A_i\to B_i[/mm].
> > Allerdings sind in diesem Sinne nur solche Familien
> > [mm](\varphi_i)_{i\in I_1}[/mm] zugelassen, für die
> > [mm]\varphi_i|_{A_i\cap A_j}=\varphi_j|_{A_i\cap A_j}[/mm] für alle
> > [mm]i,j\in I_1[/mm] gilt. Ich fände es angemessener, auf diese
> > implizite Forderung zu verzichten und beliebige Familien
> > [mm](\varphi_i)_{i\in I_1}[/mm] mit [mm]\varphi_i\colon A_i\to B_i[/mm], die
> > mit Konstanten und Relationen verträglich sind, als
> > Homomorphismen zuzulassen.
>
> Ja, dies ist sogar notwendig, wie mir aufgefallen ist:
> Betrachte [mm]A_1=\{1,2\}[/mm], [mm]A_2=\{2,3\}[/mm], die Relation [mm]f:A_i\to A_2,\ n\mapsto n+1[/mm],
> sowie [mm]B_1=\{1,2\}[/mm], [mm]B_2=\{3,4\}[/mm], die Relation [mm]g:B_1\to B_2[/mm],
> [mm]n\mapsto n+2[/mm]. Die wird man ja wohl also isomorph verstehen.
> Aber mit meiner ursprünglichen Definition komme ich nicht
> weiter, weil [mm]2[/mm] sowohl auf [mm]2[/mm] als Urbild als auf [mm]3[/mm] als Bild
> abgebildet werden müsste durch einen Isomorphismus. Daher
> brauche ich tatsächlich [mm]\varphi_1:A_1\to B_1[/mm], [mm]1\mapsto 1, 2\mapsto 2[/mm]
> und [mm]\varphi_2:A_2\to B_2[/mm], [mm]2\mapsto 3, 3\mapsto 4[/mm].
Sehe ich genauso.
> Stimmen meine weiteren Ideen soweit?
Fehler habe ich nicht gefunden. Am besten gefällt mir die Idee, Funktionszeichen und Konstantenzeichen durch Relationszeichen zu ersetzen.
Vielleicht finde ich später die Zeit, einmal zu posten, wie ich im Sinne der mehrsortigen Prädikatenlogik der ersten Stufe, aber ohne Funktions- und Konstantenzeichen die Definitionen wählen würde.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:19 Di 14.05.2013 | | Autor: | Labrinth |
Vielen Dank soweit. Ein Problem bleibt dann noch, falls ein [mm] $A_i$ [/mm] leer ist, weil dann [mm] $\prod A_i=\emptyset$. [/mm] Mal sehen, ob mir da noch was einfällt.
Beste Grüße
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