Homomorphiesatz für Ringe < Gruppe, Ring, Körper < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:21 Sa 26.03.2011 | | Autor: | diddy449 |
| Aufgabe | Seien R,S Ringe und [mm] f:R\to [/mm] S ein Ringepimorphismus. Es sei weiter I:={r [mm] |r\in [/mm] R, f(r)=0} der Kern des Epimorphismus.
Zeige:
1. I ist ein Ideal von R
2. R/I ist isomorph zu S |
Hey, ich hab mal wieder meine Schwierigkeiten bei den Beweisen.
Meine Ansätze:
1. zz.
Kern f [mm] \not= \emptyset,
[/mm]
f(0)=0 [mm] \Rightarrow [/mm] Kern f [mm] \not= \emptyset
[/mm]
Kern f + Kern f = Kern f
Seien [mm] a,b\in [/mm] Kern f
[mm] \Rightarrow [/mm] f(a)=f(b)= 0 [mm] \Rightarrow [/mm] f(a+b)=f(a)+f(b)=0 [mm] \Rightarrow [/mm] Kern f + Kern f = Kern f
R*Kern f = Kern f*R = Kern f
Sei [mm] a\in [/mm] Kern f und [mm] r\in [/mm] R
[mm] \Rightarrow [/mm] f(r*a) = f(r)*f(a) = f(r)*0 = 0 (a*r analog) [mm] \Rightarrow [/mm] R*Kern f = Kern f*R = Kern f
Also ist Kern f = I ein Ideal von R
2. zz.
[mm] \exists [/mm] g:R/I [mm] \to [/mm] S Isomorphismus
hmm, hier weiss ich nicht so recht,
ich weiss:
eine Abbildung h: R [mm] \to [/mm] R/I ist ein Ringhomomorphismus und Kern f ist das Ideal I von R
[mm] \Rightarrow [/mm] kern f = kern h
und irgendwie werde ich wohl noch gebrauchen, dass f surjektiv ist.
Aber weiter weiss ich von hier nicht mehr
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:38 Sa 26.03.2011 | | Autor: | pelzig |
> 2. zz. [mm]\exists[/mm] g:R/I [mm]\to[/mm] S Isomorphismus
Die Abbildung die du suchst ist [mm]R/I\ni r+I\mapsto f(r)\in S[/mm]. Du musst nur zeigen, dass das
(i) wohldefiniert
(ii) ein Homomorphismus von Ringen ist
(iii) bijektiv ist
Wenn du den entsprechenden Homomorphiesatz für Gruppen zur Verfügung hast, kannst du den natürlich benutzen, denn [mm](R,+)\xrightarrow{f}(S,+)[/mm] ist ein Gruppen-Homomorphismus. In diesem Falle hast du nämlich (i) und (iii) bereits erschlagen, ebenso die Hälfte von (ii).
Viele Grüße,
Robert
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:23 Sa 26.03.2011 | | Autor: | diddy449 |
> Wenn du den entsprechenden Homomorphiesatz für Gruppen
> zur Verfügung hast, kannst du den natürlich benutzen,
Ich kenne den Satz leider nicht, hatte noch kein Algebra, muss es also alternativ versuchen
> > 2. zz. [mm]\exists[/mm] g:R/I [mm]\to[/mm] S Isomorphismus
> Die Abbildung die du suchst ist [mm]R/I\ni r+I\mapsto f(r)\in S[/mm].
> Du musst nur zeigen, dass das
> (i) wohldefiniert
Wenn ich die Definition von Wohldefiniertheit auf Wikipedia richtig verstanden habe, muss ich zeigen, dass alle Representanten einer Restklasse auf den selben Bildwert abgebildet werden.
d.h. zz. a+I=b+I [mm] \Rightarrow [/mm] f(a)=f(b)
Seien [mm] a,b\in [/mm] R und I ein Ideal von R, dann gilt:
a+I = b+I [mm] \Rightarrow a-b\in [/mm] I=kern f [mm] \Rightarrow [/mm] f(a-b)= f(a)-f(b)=0 (f Ringhomomorphisus ausgenutzt) [mm] \Rightarrow [/mm] f(a)=f(b)
Wozu zeigt man die Wohldefiniertheit?
> (ii) ein Homomorphismus von Ringen ist
Sei g: R/I [mm] \to [/mm] S mit g(r+I)=f(r)
zz.
1. g((a+I)+(b+I)) = g(a+I)+g(b+I)
g((a+I)+(b+I)) "Addition in R/I"
= g((a+b)+I) = f(a+b) "f Ringhomomorphismus"
= f(a)+f(b) = g(a+I)+g(b+I)
2. g((a+I)*(b+I))=g(a+I)*g(b+I)
g((a+I)*(b+I)) "Multiplikation in R/I"
= g(ab+I) = f(ab) "f Ringhomomorphismus"
= f(a)*f(b) = g(a+I)*g(b+I)
3. g(1+I)=f(1) "da f Ringhomomorphismus gilt: [mm] f(1)=1_{S}"
[/mm]
damit ist 3. schon gezeigt.
> (iii) bijektiv ist
zz.
1. g injektiv: a+I=b+I [mm] \Rightarrow [/mm] f(a)=f(b)
Dies ist genau das, was bei der Wohldefiniertheit gezeigt wurde, daher wird bei einem der beiden etwas anderes zu zeigen sein. Bitte um einen Tipp!
2. g surjektiv: Bild g = S
Bild g = Bild f = S, da f surjektiv ist
Stimmt das so?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:41 Sa 26.03.2011 | | Autor: | pelzig |
> > > 2. zz. [mm]\exists[/mm] g:R/I [mm]\to[/mm] S Isomorphismus
> > Die Abbildung die du suchst ist [mm]R/I\ni r+I\mapsto f(r)\in S[/mm].
> > Du musst nur zeigen, dass das
> > (i) wohldefiniert
>
> Wenn ich die Definition von Wohldefiniertheit auf Wikipedia
> richtig verstanden habe, muss ich zeigen, dass alle
> Representanten einer Restklasse auf den selben Bildwert
> abgebildet werden.
Ganz genau
>
> d.h. zz. a+I=b+I [mm]\Rightarrow[/mm] f(a)=f(b)
> Seien [mm]a,b\in[/mm] R und I ein Ideal von R, dann gilt:
> a+I = b+I [mm]\Rightarrow a-b\in[/mm] I=kern f [mm]\Rightarrow[/mm] f(a-b)=
> f(a)-f(b)=0 (f Ringhomomorphisus ausgenutzt) [mm]\Rightarrow[/mm]
> f(a)=f(b)
Richtig.
> Wozu zeigt man die Wohldefiniertheit?
Naja, wenn weil man ja eine Abbildung konstruieren will, d.h. jedem Element des Definitionsbereiches wird genau ein Element des Zielbereiches zugeordnet. Betrachte doch z.B. mal [mm]\varphi:\IQ\ni\frac{r}{q}\mapsto r+q\in\IZ[/mm]... so eine Abbildung existiert nicht, denn dann wäre [mm]2=1+1=f(1/1)=f(1)=f(2/2)=2+2=4[/mm], was Unfug ist. Bevor man also irgendwelche weiteren Betrachtungen anstellen kann, muss man also erstmal checken, ob so eine Abbildung überhaupt existiert.
> > (ii) ein Homomorphismus von Ringen ist
>
> Sei g: R/I [mm]\to[/mm] S mit g(r+I)=f(r)
> zz.
> 1. g((a+I)+(b+I)) = g(a+I)+g(b+I)
> g((a+I)+(b+I)) "Addition in R/I"
> = g((a+b)+I) = f(a+b) "f Ringhomomorphismus"
> = f(a)+f(b) = g(a+I)+g(b+I)
>
> 2. g((a+I)*(b+I))=g(a+I)*g(b+I)
> g((a+I)*(b+I)) "Multiplikation in R/I"
> = g(ab+I) = f(ab) "f Ringhomomorphismus"
> = f(a)*f(b) = g(a+I)*g(b+I)
Ganz genau.
> 3. g(1+I)=f(1) "da f Ringhomomorphismus gilt: [mm]f(1)=1_{S}[/mm]
> damit ist 3. schon gezeigt.
Okay. Man sollte übrigens mal irgendwo erwähnen, dass es um unitäre Ringe geht.
> > (iii) bijektiv ist
> zz.
> 1. g injektiv: [mm]a+I=b+I \Rightarrow f(a)=f(b)[/mm]
> Dies ist genau das, was bei der Wohldefiniertheit gezeigt
> wurde, daher wird bei einem der beiden etwas anderes zu
> zeigen sein. Bitte um einen Tipp!
Hier sollst du zeigen, dass [mm]g(a+I)=g(b+I)[/mm] impliziert [mm]a=b[/mm]. Das ist quasi die Rückrichtung. Die Wohldefiniertheit der Abbildung ist gleichbedeutend mit [mm]I\subset\ker f[/mm] und die Injektivität von [mm]g[/mm] ist eine Folge von [mm]\ker f\subset I[/mm].
> 2. g surjektiv: Bild g = S
> Bild g = Bild f = S, da f surjektiv ist
Richtig.
Gruß, Robert
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:35 Sa 26.03.2011 | | Autor: | diddy449 |
> > Wozu zeigt man die Wohldefiniertheit?
> Naja, wenn weil man ja eine Abbildung konstruieren will,
> d.h. jedem Element des Definitionsbereiches wird genau ein
> Element des Zielbereiches zugeordnet. Betrachte doch z.B.
> mal [mm]\varphi:\IQ\ni\frac{r}{q}\mapsto r+q\in\IZ[/mm]... so eine
> Abbildung existiert nicht, denn dann wäre
> [mm]2=1+1=f(1/1)=f(1)=f(2/2)=2+2=4[/mm], was Unfug ist. Bevor man
> also irgendwelche weiteren Betrachtungen anstellen kann,
> muss man also erstmal checken, ob so eine Abbildung
> überhaupt existiert.
ok, klar.
> > 3. g(1+I)=f(1) "da f Ringhomomorphismus gilt:
> [mm]f(1)=1_{S}[/mm]
> > damit ist 3. schon gezeigt.
> Okay. Man sollte übrigens mal irgendwo erwähnen, dass es
> um unitäre Ringe geht.
ok, mach ich dann noch.
> > 1. g injektiv: [mm]a+I=b+I \Rightarrow f(a)=f(b)[/mm]
> Hier sollst du zeigen, dass [mm]g(a+I)=g(b+I)[/mm] impliziert [mm]a=b[/mm].
warum a=b und nicht a+I=b+I?
> Die Wohldefiniertheit der Abbildung ist gleichbedeutend mit [mm]I\subset\ker f[/mm] und die Injektivität von [mm]g[/mm] ist eine Folge von [mm]\ker f\subset I[/mm].
Das versteh ich nicht, warum ist das so?
Aber, da das wohl stimmten wird, könnte ich doch, wenn ich von anfang an gezeigt habe, dass ker f ein Ideal von R ist, sofort die Wohldefiniertheit und Injektivität damit erschlagen?!
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:06 So 27.03.2011 | | Autor: | pelzig |
> > > 1. g injektiv: [mm]a+I=b+I \Rightarrow f(a)=f(b)[/mm]
> > Hier sollst du zeigen, dass [mm]g(a+I)=g(b+I)[/mm] impliziert [mm]a=b[/mm].
> warum a=b und nicht a+I=b+I?
Mein Fehler. Zu zeigen ist [mm]g(a+I)=g(b+I)\Rightarrow a+I=b+I[/mm].
> > Die Wohldefiniertheit der Abbildung ist gleichbedeutend mit
> [mm]I\subset\ker f[/mm] und die Injektivität von [mm]g[/mm] ist eine Folge
> von [mm]\ker f\subset I[/mm].
>
> Das versteh ich nicht, warum ist das so?
Schau dir deine Beweise an. Bei der Wohldefiniertheit ist die entscheidende Zutat, dass [mm]a-b\in I[/mm] impliziert [mm]f(a)=f(b)[/mm], also [mm]I\subset\ker f[/mm]. Bei der Injektivität ist entscheidend, dass aus [mm]a-b\in\ker f[/mm] folgt [mm]a-b\in I[/mm].
> Aber, da das wohl stimmten wird, könnte ich doch, wenn ich
> von anfang an gezeigt habe, dass ker f ein Ideal von R ist,
> sofort die Wohldefiniertheit und Injektivität damit erschlagen?!
Nein, das kannst du erst nachdem du diese Sachen mindestens einmal bewiesen hast, und das ist genau die Aufgabe hier. Ich wollte mit dieser Aussage nur nochmal zusammenfassen, warum die Beweise funktionieren. Für die Wohldefiniertheit von [mm]g[/mm] braucht man eben nur [mm]I\subset\ker f[/mm], nur ist dann [mm]g[/mm] i.A. nicht injektiv. Eigentlich kann man den Homomorphiesatz auch so formulieren:
Ist [mm]I\subset R[/mm] ein Ideal und [mm]f:R\to S[/mm] ein Homomorphismus von (unitären) Ringen, mit [mm] $f|_I\equiv [/mm] 0$ oder äquivalent [mm]I\subset\ker f[/mm], so gibt es eine eindeutig bestimmten Homomorphismus von (unitären) Ringen [mm]\tilde{f}:R/I\to S[/mm] mit [mm]\tilde{f}\circ\pi=f[/mm]. Ferner ist [mm]\ker\tilde{f}=\ker f/I=\pi(\ker f)[/mm], d.h. [mm]\tilde{f}[/mm] ist injektiv genau dann, wenn zusätzlich [mm]\ker f\subset I[/mm] gilt.
Gruß, Robert
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 10:55 Mo 28.03.2011 | | Autor: | diddy449 |
> Zu zeigen ist [mm]g(a+I)=g(b+I)\Rightarrow a+I=b+I[/mm].
g(a+I)=g(b+I) [mm] \Rightarrow [/mm] f(a)=f(b) [mm] \Rightarrow [/mm] f(a-b)=0 [mm] \Rightarrow a-b\in [/mm] ker f=I [mm] \Rightarrow [/mm] a+I=b+I
> Bei der Wohldefiniertheit ist
> die entscheidende Zutat, dass [mm]a-b\in I[/mm] impliziert
> [mm]f(a)=f(b)[/mm], also [mm]I\subset\ker f[/mm]. Bei der Injektivität ist
> entscheidend, dass aus [mm]a-b\in\ker f[/mm] folgt [mm]a-b\in I[/mm].
ja stimmt, jetzt versteh ich es
> Eigentlich kann man den Homomorphiesatz auch so formulieren:
>
> Ist [mm]I\subset R[/mm] ein Ideal und [mm]f:R\to S[/mm] ein Homomorphismus
> von (unitären) Ringen, mit [mm]f|_I\equiv 0[/mm] oder äquivalent
> [mm]I\subset\ker f[/mm], so gibt es eine eindeutig bestimmten
> Homomorphismus von (unitären) Ringen [mm]\tilde{f}:R/I\to S[/mm]
> mit [mm]\tilde{f}\circ\pi=f[/mm]. Ferner ist [mm]\ker\tilde{f}=\ker f/I=\pi(\ker f)[/mm],
> d.h. [mm]\tilde{f}[/mm] ist injektiv genau dann, wenn zusätzlich
> [mm]\ker f\subset I[/mm] gilt.
>
alles klar, habs gecheckt
Vielen Dank pelzig, vorallem für die ausführlichen Antworten.
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