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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:44 Mi 21.10.2009 | | Autor: | Pacapear |
Hallo zusammen!
Ich habe hier den Homomorphiesatz:
$U [mm] \subset [/mm] V$ Unterraum von V
$f:V [mm] \to [/mm] V'$ lineare Abbildung mit $U [mm] \subset [/mm] Kern(f)$.
Dann existiert eine eindeutige lineare Abbildung $g: V/U [mm] \to [/mm] V'$ so dass $f = g [mm] \circ \pi$.
[/mm]
Dann ist dadrunter noch ein Diagramm dazu gezeichnet, mit der Bemerkung, dass es kommutiert.
[Das heißt doch, wenn ich in $V$ starte, dass es egal ist, welchen Weg ich zu $V'$ laufe, oder?]
Im Nachsatz wird gesagt, dass man einen Epimorphismus [mm] $\pi: [/mm] V [mm] \to [/mm] V/U$ hat, bei dem U der Kern ist.
Ich hab zwei Fragen zum Kern.
1) Warum ist der Kern von [mm] \pi [/mm] der Unterraum $U$? Wir haben zwar definiert, dass die 0 in $V/U$ gerade $U$ ist, aber nun suche ich ja alle Elemente aus $V$, die auf die $0=U$ abgebildet werden. Woher weiß ich, dass das genau wieder U ist?
2) Warum ist $U$ eine Teilmenge von $V$ bzw. welche Auswirkungen hat es auf diesen Satz?
Noch eine allgemeine Frage zum Satz:
Bei uns haben wie die Abbildung $f:V [mm] \to [/mm] V'$ gegeben und sagen, dass dazu eine eindeutige Abbildung $g: V/U [mm] \to [/mm] V'$ existiert, so dass man die Abbildung [mm] $\pi: [/mm] V [mm] \to [/mm] V/U$ erhält.
Im Buch ist es verdreht. Da hat man die Abbildung [mm] $\pi: [/mm] V [mm] \to [/mm] V/U$ gegeben und sagt, dass man zu jeder Abbildung $f:V [mm] \to [/mm] V'$ eindeutig die Abbildung $g: V/U [mm] \to [/mm] V'$ findet.
Ist das egal?
LG, Nadine
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Hallo,
nachdem ich nun einige Zeit gewartet habe, ob vielleicht jemand anders besser als ich versteht, was Du schreibst, versuche ich jetzt doch mal zu antworten.
> Ich habe hier den Homomorphiesatz:
> [mm]U \subset V[/mm] Unterraum von V
>
> [mm]f:V \to V'[/mm] lineare Abbildung mit [mm]U \subset Kern(f)[/mm].
>
> Dann existiert eine eindeutige lineare Abbildung [mm]g: V/U \to V'[/mm]
> so dass [mm]f = g \circ \pi[/mm].
>
> Dann ist dadrunter noch ein Diagramm dazu gezeichnet, mit
> der Bemerkung, dass es kommutiert.
> [Das heißt doch, wenn ich in [mm]V[/mm] starte, dass es egal ist,
> welchen Weg ich zu [mm]V'[/mm] laufe, oder?]
Ja.
>
> Im Nachsatz wird gesagt, dass man einen Epimorphismus [mm]\pi: V \to V/U[/mm]
> hat, bei dem U der Kern ist.
Ja, diesen Epimorphismus hast Du ja sicher vorher schon kennengelernt, es ist der kanonische Epimorphismus von V auf V / U.
>
>
>
> Ich hab zwei Fragen zum Kern.
>
> 1) Warum ist der Kern von [mm]\pi[/mm] der Unterraum [mm]U[/mm]?
[mm] \pi: V\to [/mm] V / U ist doch wie folgt definiert
[mm] \pi( [/mm] v)=v+U.
Nun rechne den Kern aus.
Für welche v gilt [mm] \pi [/mm] (v)= U ?
> Wir haben
> zwar definiert, dass die 0 in [mm]V/U[/mm] gerade [mm]U[/mm] ist, aber nun
> suche ich ja alle Elemente aus [mm]V[/mm], die auf die [mm]0=U[/mm]
> abgebildet werden.
Genau.
> Woher weiß ich, dass das genau wieder U
> ist?
Indem Du Dir überlegst, für welche v richtig ist: v+U=U
>
> 2) Warum ist [mm]U[/mm] eine Teilmenge von [mm]V[/mm]
Weil das so vorausgesetzt ist.
> bzw. welche
> Auswirkungen hat es auf diesen Satz?
Versuch es selbst.
Mach Dir einmal ein Beispiel, in welchem U eine teilmenge des Kerns von f ist, und guck, wie Du das g bekommst.
Dann wandle dein Beispiel so ab, daß U keine Teilmenge des Kerns ist, und schau, was sich dadurch ändert.
So würde ich es jedenfalls machen, wenn ich diese Frage hätte.
> Noch eine allgemeine Frage zum Satz:
>
> Bei uns haben wie die Abbildung [mm]f:V \to V'[/mm] gegeben und
> sagen, dass dazu eine eindeutige Abbildung [mm]g: V/U \to V'[/mm]
> existiert, so dass man die Abbildung [mm]\pi: V \to V/U[/mm]
> erhält.
Sicher?
Wie ist denn das genau formuliert?
Ich denke, da steht eher, daß man eine eindeutige Abbildung g findet, so daß f= [mm] g\circ \pi [/mm] , wobei [mm] \pi [/mm] der kanonische Epimorphismus ist von V auf V / U.
>
> Im Buch ist es verdreht. Da hat man die Abbildung [mm]\pi: V \to V/U[/mm]
> gegeben und sagt, dass man zu jeder Abbildung [mm]f:V \to V'[/mm]
> eindeutig die Abbildung [mm]g: V/U \to V'[/mm] findet.
Da ich meine, daß es in Eurer Vorlesung so war, wie ich eben schrieb, ist da sja gleich.
Gruß v. Angela
>
> Ist das egal?
>
>
>
> LG, Nadine
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:52 Mo 26.10.2009 | | Autor: | DaMenge |
Hallo Nadine,
ich habe ebenso wie Angela gewartet, weil mir nicht ganz klar ist, was genau dein Problem ist, aber ich versuche auch meinen senf dazu zu geben:
Wie Angela schon schrieb, dein Satz schein auf die Existenz und Eindeutigkeit von g zu schliessen, dann muss er aber auch voraussetzen, dass [mm] $\pi$ [/mm] als (kanonischer) Epimorphismus bekannt ist (also Surjektivität ist eine Voraussetzung) !
Daher sind deine letzten beiden Sätze auch nicht verschieden, aber wie gesagt: wir können hier nur raten, was in deiner Mitschrift genau steht.
btw: in einem solchen kommutativen Diagramm (das bedeutet eben: egal welchen Weg man geht, es kommt dasselbe raus!) kann man von zwei gegebenen Abbildungen direkt auf die dritte (fehlende) schliessen! Die Eindeutigkeit dieser ist aber an bestimmt Zusatzbedingungen geknüpft. (bspw die Surjektivität von [mm] \pi [/mm] ist hier enorm wichtig! aber wenn du zwei andere Abbildungen gegeben hast, wird Injektivitaet von g meist eine Voraussetzung sein usw...)
Aber zu deinen eigentlichen fragen:
> 1) Warum ist der Kern von [mm]\pi[/mm] der Unterraum [mm]U[/mm]? Wir haben
> zwar definiert, dass die 0 in [mm]V/U[/mm] gerade [mm]U[/mm] ist, aber nun
> suche ich ja alle Elemente aus [mm]V[/mm], die auf die [mm]0=U[/mm]
> abgebildet werden. Woher weiß ich, dass das genau wieder U
> ist?
>
wie gesagt: der kanonische Epimorphismus wird als bekannt hier vorrausgesetzt - kannst du ihn mir mal sauber aufschreiben, also wie sieht des Bild von [mm] $v\in [/mm] V$ unter [mm] \pi [/mm] aus?
[Hinweis: U ist ein Unterraum, also wähle eine Basis von U, dann mache eine Basisergänzung um eine ganze Basis für V zu erhalten. Dann stelle v mit dieser Basis (allgemein) dar und beschreibe das Bild..]
Wenn du dies geschafft hast, ist offensichtlich, warum U der Kern von [mm] \pi [/mm] ist. (Mengengleichheit zeigt man üblich durch zwei Inklusionen)
> 2) Warum ist [mm]U[/mm] eine Teilmenge von [mm]V[/mm] bzw. welche
> Auswirkungen hat es auf diesen Satz?
der kanonische Epimorphismus braucht diese Eigenschaft, dass U zumindest Teilmenge von V ist.
wenn du allerdings meintest: warum U auch im Kern von f sein muss: Wie Angela schon meinte: versuche mal ein Gegenbeispiel wo U nicht (ganz) im Kern ist, was passiert mit solchen Elemente, die nicht im Kern sind, wenn due beide Wege im kommutativen Diagramm gehst?
Dies sollte aber nur zur Ergänzung zu Angela's Informationen dienen.
LG, DaMenge
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