Homomorphe Bilder bestimmen < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:40 So 18.05.2008 | | Autor: | uniklu |
| Aufgabe | | Man bestimme bis auf Isomorphie alle homomorphen Bilder der Gruppe [mm] V_4 [/mm] (Kleinsche Vierergruppe) |
Hallo!
Ich habe leider noch probleme mit der Theorie aber ich arbeite daran.
Was ich bisher gemacht habe:
Untergruppen von [mm] V_4 [/mm] bestimmt.
<x> = [mm] x^n [/mm] | n [mm] \in \IN
[/mm]
Diese sind also:
{1,a}, {1,b}, {1,c}
Da die Links und Rechtsnebenklassen identisch sind handelt es sich um Normalteiler. Hinzu kommen noch die trivialen Normalteiler {1} und {1,a,b,c}
Nun berechne ich die Faktorgruppen:
{1,a,b,c} nach {1} = {1,a,b,c}
{1,a,b,c} nach {1,a,b,c} = {1}
{1,a,b,c} nach {1,a} = {1,a},{b,c}
{1,a,b,c} nach {1,b} = {1,b},{a,c}
{1,a,b,c} nach {1,c} = {1,c},{a,b}
Ich komme nun nicht weiter?
Wie ermittle ich nun die Homomorphen Bilder von [mm] V_4 [/mm] oder handelt es sich bei den Faktorgruppen schon um die Bilder???
Weiters weiß ich nicht ob ich die Faktorgruppen richtig berechnet habe - ich habe nur die Linksnebenklassen des jeweiligen Normalteilers herangezogen. Gibt es da eine andere Methode der "Berechnung"?
Vielen Dank!
mfg
Ich habe diese Frage auch in folgenden Foren auf anderen Internetseiten gestellt:
[http://matheplanet.com/default3.html?topic=103240=2000]
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:03 Mo 19.05.2008 | | Autor: | statler |
Hi!
du kennst hoffentlich den Homomorphiesatz für Gruppen:
[mm] G/ker(\phi) \cong im(\phi)
[/mm]
Außerdem weißt du hoffentlich, daß der Kern ein Normalteiler ist.
V4 ist abelsch, also sind alle U-Gruppen Normalteiler, du hast sie bestimmt.
Unnd damit bist du im wesentlichen fertig, du mußt nur noch einen Antwortsatz hinschreiben.
Gruß
Dieter
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