Homogenes Gleichungssystem < Gleichungssysteme < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:56 Sa 19.06.2004 | | Autor: | Timowob |
Hallo 
Ist es richtig, daß ein Gleichungssystem Ax=0 homogen ist, weil die Lösung der Nullvektor ist? Dann wäre es ja, weil die Det=0 immer lösbar - oder?
Viele Grüße
Timo
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Hallo
Sehe ich das richtig das folgendes GLS auch INhomogen ist?
[mm] x_{1} x_{2} 2x_{3} 3x_{4} [/mm] = -2
[mm] x_{1} 2x_{2} 2x_{3} 5x_{4} [/mm] = -5
[mm] 4x_{1} x_{2} 5x_{3} 6x_{4} [/mm] = -1
Unser Prof. hat geschrieben, das wöre ein homogenes (3x4) GLS. Ich habe es aber so verstanden, dass auf der linken Seite eine 0 stehen soll, aber das ist ja hier nicht der Fall, oder üvbersehe ich etwas?
Mfg
Markus
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 10:30 Sa 20.11.2004 | | Autor: | Stefan |
Hallo spacephreak!
Wenn da noch Summenzeichen dazwischen stehen, dann ist dies ein inhomogenes lineares Gleichungssystem, das ist richtig, ja. Aber das weiß dein Prof, insofern hast du sciherlich was falsch verstanden.
Liebe Grüße
Stefan
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Hi
sry Stefan, ich habe die PLUS Zeichen vergessen, fällt mir gerade auf. Aber irgendwie hab ich das noch nicht so ganz verstanden:
Homogenes:
$ [mm] x_{1} [/mm] + [mm] x_{2} [/mm] + [mm] 2x_{3} [/mm] + [mm] 3x_{4} [/mm] $ = -2
$ [mm] x_{1} [/mm] + [mm] 2x_{2} [/mm] + [mm] 2x_{3} [/mm] + [mm] 5x_{4} [/mm] $ = -5
$ [mm] 4x_{1} [/mm] + [mm] x_{2} [/mm] + [mm] 5x_{3} [/mm] + [mm] 6x_{4} [/mm] $ = 1
Inhomogenes:
$ [mm] 7x_{1} [/mm] - [mm] 11x_{2} [/mm] + [mm] 3x_{3} [/mm] $ = 5
Kann mir das jemand bitte anhand dieser beiden GLS erklären? Oder sieht man das so auf den ersten Blick überhaupt nicht?
Ich habe unteranderen diese Erklärung dazu bekommen:
http://www.ct-webspace.de/linearealgebra/lineare_algebra_grundlagennode16.html
, aber das hilft mir nicht weiter, weil irgendwie kann ich für beide Werte finden, bei denen beide homogen bzw. inhomogen sind.
Danke im voraus.
Mfg
Markus
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Was ist an diesem ersten GLS homogen?
"Homogen" wär's, wenn auf der rechten Seite (bei allen Zeilen) =0 stehen würde.
Und die andere Gleichung? Inhomogen ist sie, ja. Und weiter? Diese Gleichung beschreibt eine Ebene im [mm]\IR^3[/mm].
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Hallo
Ich habe es mir ja nicht selber ausgedacht, so hatte es der Prof gesagt.
Wieso ist die andere inhomogen? weil es mehr Xe gibt als Gleichungen?
Mfg
Markus
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 01:52 Mo 22.11.2004 | | Autor: | Stefan |
Hallo Markus!
Wie bereits gesagt: Entweder der Prof hat sich vertan (was ich nicht glaube) oder aber du hast ihn falsch verstanden.
Ein lineares Gleichungssystem $Ax=b$ ist genau dann homogen, wenn $b=0$ ist.
Nicht mehr und nicht weniger. Also sind beide von dir angegebenen linearen Gleichungssysteme inhomogen.
Viele Grüße
Stefan
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:21 Sa 19.06.2004 | | Autor: | Marc |
Hallo Timo,
> Ist es richtig, daß ein Gleichungssystem Ax=0 homogen ist,
> weil die Lösung der Nullvektor ist?
Das Gleichungssystem heißt homogen, weil die rechte Seite der Gleichung aus Nullen besteht.
Die Lösungen sind ja die Vektoren, die man für x einsetzen muß.
> Dann wäre es ja, weil
> die Det=0 immer lösbar - oder?
Das Argument verstehe ich nicht.
Die Determinante von A muß nicht [mm] $\det [/mm] A=0$ sein, kann aber natürlich.
Trotzdem ist eine homogenes Gleichungssystem immer lösbar, da es immer den Nullvektor als Lösung besitzt: $A*0=0$.
Interessant ist bei homogenen Gleichungsystemen also nur, ob es weitere Lösungen außer der trivialen gibt.
Falls es eine weitere Lösung gibt, dann gibt es automatisch unendlich viele Lösungen, da auch alle Vielfachen der gefundenen Lösung ebenfalls Lösung sind: $Ax=0$ [mm] $\Rightarrow$ [/mm] $A(rx)=r*Ax=r*0=0$, [mm] $r\in\IR$.
[/mm]
Viele Grüße,
Marc
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:31 Sa 19.06.2004 | | Autor: | Timowob |
Hallo Marc,
also ist ein Gleichungssystem homogen, wenn eine Zeile oder eine Spalte aus nullen bestehen?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:41 Sa 19.06.2004 | | Autor: | Marc |
Hallo Timo,
> also ist ein Gleichungssystem homogen, wenn eine Zeile oder
> eine Spalte aus nullen bestehen?
Nein, weil die rechte Seite der Gleichung aus Nullen besteht.
Vielleicht wird es mit zwei Beispielen deutlich:
[mm] $a_{11}*x_1+a_{12}*x_2+a_{13}*x_3=\red{0}$
[/mm]
[mm] $a_{21}*x_1+a_{22}*x_2+a_{23}*x_3=\red{0}$
[/mm]
[mm] $a_{31}*x_1+a_{32}*x_2+a_{33}*x_3=\red{0}$
[/mm]
Dies ist ein homogenes lineares Gleichungsystem, wegen der roten Nullen. In Matrixschreibweise:
[mm] $\pmat{a_{11}&a_{12}&a_{13}\\a_{21}&a_{22}&a_{23}\\a_{31}&a_{32}&a_{33}}*\vektor{x_1\\x_2\\x_3}=\vektor{\red{0}\\\red{0}\\\red{0}}$
[/mm]
Weiteres Beispiel:
[mm] $a_{11}*x_1+a_{12}*x_2+a_{13}*x_3=\red{1}$
[/mm]
[mm] $a_{21}*x_1+a_{22}*x_2+a_{23}*x_3=\red{0}$
[/mm]
[mm] $a_{31}*x_1+a_{32}*x_2+a_{33}*x_3=\red{0}$
[/mm]
Dies ist ein inhomogenes (also kein homogenes) lineares Gleichungsystem, wegen der roten Eins. In Matrixschreibweise:
[mm] $\pmat{a_{11}&a_{12}&a_{13}\\a_{21}&a_{22}&a_{23}\\a_{31}&a_{32}&a_{33}}*\vektor{x_1\\x_2\\x_3}=\vektor{\red{1}\\\red{0}\\\red{0}}$
[/mm]
Wie die Matrix A bzw. deren Koeffizienten [mm] $a_{ij}$aufgebaut [/mm] ist, spielt keine Rolle bei der Feststellung "homogenes oder inhomogenes" Gleichungssystem.
Viele Grüße,
Marc
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