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| Aufgabe | Berechne die Lösung des AWP's
x'(t)= [mm] \pmat{ 5 & -6 & -6 \\ -1 & 4 & 2 \\ 3 & -6 & -4} [/mm] x(t), x(0)= [mm] \pmat{ -2 \\ -3 \\ 3 } [/mm] |
Hallo zusammen,
habe für diese Aufgabe erst das charakt.Polynom berechnet dann erhalten [mm] \lambda_{1}=1 [/mm] und [mm] \lambda_{1,2}=2.
[/mm]
Danach habe ich die Eigenvektoren für die beiden Werte berechnet. Bei meiner Rechnung habe ich für [mm] \lambda_{1} [/mm] einen und für [mm] \lambda_{1,2} [/mm] zwei Eigenvektoren erhalten, was super zu der algrebra. und geometr. Vielfachheit der Eigenwerte passt.
Also habe ich folgendes Fundamentalsystem herausbekommen:
[mm] {\pmat{ 3 \\ -1 \\ 3} e^t, \pmat{ 2 \\ 1 \\ 0 } e^{2t}, \pmat{ 2 \\ 0 \\ 1 } e^{2t} }
[/mm]
Stimmt das soweit und ist es richtig, dass ich erst jetzt die Anfangsbedingung mit einbeziehe? Und wie mache ich das jetzt mit der Anfangsbedingung?
Merci und Gruss
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:41 Mi 27.11.2013 | | Autor: | fred97 |
> Berechne die Lösung des AWP's
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> x'(t)= [mm]\pmat{ 5 & -6 & -6 \\ -1 & 4 & 2 \\ 3 & -6 & -4}[/mm]
> x(t), x(0)= [mm]\pmat{ -2 \\ -3 \\ 3 }[/mm]
> Hallo zusammen,
>
> habe für diese Aufgabe erst das charakt.Polynom berechnet
> dann erhalten [mm]\lambda_{1}=1[/mm] und [mm]\lambda_{1,2}=2.[/mm]
> Danach habe ich die Eigenvektoren für die beiden Werte
> berechnet. Bei meiner Rechnung habe ich für [mm]\lambda_{1}[/mm]
> einen und für [mm]\lambda_{1,2}[/mm] zwei Eigenvektoren erhalten,
> was super zu der algrebra. und geometr. Vielfachheit der
> Eigenwerte passt.
> Also habe ich folgendes Fundamentalsystem herausbekommen:
> [mm]{\pmat{ 3 \\ -1 \\ 3} e^t, \pmat{ 2 \\ 1 \\ 0 } e^{2t}, \pmat{ 2 \\ 0 \\ 1 } e^{2t} }[/mm]
>
> Stimmt das soweit
ja
> und ist es richtig, dass ich erst jetzt
> die Anfangsbedingung mit einbeziehe?
Ja
> Und wie mache ich das
> jetzt mit der Anfangsbedingung?
Die allg. Lösung des Systems lautet:
[mm]x(t)=c_1{\pmat{ 3 \\ -1 \\ 3} e^t+c_2 \pmat{ 2 \\ 1 \\ 0 } e^{2t}+c_3\pmat{ 2 \\ 0 \\ 1 } e^{2t} }[/mm]
dann ist
[mm]x(0)=c_1{\pmat{ 3 \\ -1 \\ 3} +c_2 \pmat{ 2 \\ 1 \\ 0 } +c_3\pmat{ 2 \\ 0 \\ 1 } }[/mm]
Das soll aber
= [mm] \pmat{ -2 \\ -3 \\ 3 }
[/mm]
sein. bestimme also [mm] c_1,c_2,c_3 [/mm] aus dem resultierende LGS.
FRED
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> Merci und Gruss
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