Homogene DGL n.Ord. < gewöhnliche < Differentialgl. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:16 So 20.09.2009 | | Autor: | uecki |
Hallo,
zur homogenen DGL n.Ord. hab ich folgendes:
DGL: [mm] u^{(n)} [/mm] + [mm] a_{n-1}u^{(n-1)}+ [/mm] ... + [mm] a_{0}u^{0} [/mm] = 0
-die DGL ist linear in u(t)
-es gilt das Superpositionsprinzip: Ist s(t) eine Linearkombination aus stetigen Funktionen, so ergibt sich die partikuläre Lösung aus der Summe der Lösungen für die Summanden der Linearkombination.
-die Summe der Lösungen und Vielfache der Lösungen sind Lösung der DGL
-die Lösung ist beliebig oft differenzierbar, wenn sie mindestens (n-1)-mal differenzierbar ist. Das ergibt sich aus der expliziten Darstellung der DGL:
[mm] u^{(n)}= [/mm] - [mm] a_{n-1}u^{(n-1)}- [/mm] ... - [mm] a_{0}u^{0} [/mm]
[mm] u^{(n+k)}= [/mm] - [mm] a_{n-1}u^{(n+k-1)}- [/mm] ... - [mm] a_{0}u^{k} [/mm]
Verstehe ich auch alles, bis auf eines.
Warum gilt das Superpositionsprinzip??? Wir reden doch hier von einer homogenen DGL und die hat doch, so wie ich es bisher gelernt hab, keine Störfunktion, oder hab ich was falsch verstanden?
LG
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Hallo uecki,
> Hallo,
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> zur homogenen DGL n.Ord. hab ich folgendes:
> DGL: [mm]u^{(n)}[/mm] + [mm]a_{n-1}u^{(n-1)}+[/mm] ... + [mm]a_{0}u^{0}[/mm] = 0
>
> -die DGL ist linear in u(t)
> -es gilt das Superpositionsprinzip: Ist s(t) eine
> Linearkombination aus stetigen Funktionen, so ergibt sich
> die partikuläre Lösung aus der Summe der Lösungen für
> die Summanden der Linearkombination.
Üblicherweise wird die Störfunktion mit [mm]s\left(t\right)[/mm] bezeichnet.
> -die Summe der Lösungen und Vielfache der Lösungen sind
> Lösung der DGL
> -die Lösung ist beliebig oft differenzierbar, wenn sie
> mindestens (n-1)-mal differenzierbar ist. Das ergibt sich
> aus der expliziten Darstellung der DGL:
> [mm]u^{(n)}=[/mm] - [mm]a_{n-1}u^{(n-1)}-[/mm] ... - [mm]a_{0}u^{0}[/mm]
> [mm]u^{(n+k)}=[/mm] - [mm]a_{n-1}u^{(n+k-1)}-[/mm] ... - [mm]a_{0}u^{k}[/mm]
>
> Verstehe ich auch alles, bis auf eines.
> Warum gilt das Superpositionsprinzip??? Wir reden doch
> hier von einer homogenen DGL und die hat doch, so wie ich
> es bisher gelernt hab, keine Störfunktion, oder hab ich
Das ist auch richtig, was Du da geschrieben hast.
> was falsch verstanden?
Das Superpositionsprinzip gilt hier nur für die Störfunktion [mm]s\left(t\right)[/mm].
Demnach muß die DGL so lauten:
[mm]u^{(n)} a_{n-1}u^{(n-1)}+ ... + a_{0}u^{0} = s\left(t\right)[/mm]
Es kann sich also um einen Fehler in Deinen Aufzeichnungen handeln.
>
> LG
Gruss
MathePower
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