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| Aufgabe | Übungsaufgabe 26
Zeigen Sie, dass der Rand eines Quadrates, eine Kreislinie und der Rand einer Ellipse homöomorph ist. |
Hallo Leute,
Beim Quadrat habe ich mir einfach eine Ebenengleichung überlegt: Q(t)=|a|+t|b|+t|c| =>[mm]Q^-1\left( t \right)=\bruch{t-|a|}{|b|+|c|}[/mm]. Das ist für alle [mm]t\in\IR[/mm] stetig mit [mm]b\ne -c[/mm] und [mm]c\ne-b[/mm].
Bei der Kreisgleichung x²+y²=1 ist mir aufgefallen, dass die Umkehrung laut dem Forster Analysis II nicht stetig, also nicht homöomorph, ist. Das Beispiel, warum dies so ist, habe ich nicht verstnden (könnte mir das jemand zeigen?). Komisch finde ich hier, dass die Aufgabenstellung bereits implizit festlegt, dass man zeigen kann, dass ein Kreis eine homöomorphe Abbildung hat.
Zur Ellipse habe ich leider keinen Ansatz.
Vielen dank schon mal für eure Hilfe
Gruß
Christoph
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:37 Fr 23.07.2010 | | Autor: | Espe |
Hrm... ich werd das ganze wenns geht mal halboffen lassen, weil ich mir selber grad ein wenig unsicher bin.
Du möchstest zeigen das 3 Unterräume des [mm] \IR^2 [/mm] homöomorph zueinander sind. Ergo suchst du Homöomorphismen, also stetige bijektive Abbildungen mit stetiger Umkehrabbildung eben zwischen diesen Räumen (die vermutlich einfach die Teilraumtopologie von [mm] \IR^2 [/mm] erben dann).
Ich seh nun nicht so wirklich, was deine Gleichung, die du zum Quadrat anführst, damit zu tun hat, also was sie bezweckt (|a| ist einfach eine Verschiebung ? sowohl vor |b| als auch vor |c| verwendest du "t" als Parameter. An sich, so wie ich das verstehe, ist das nicht einmal eine Ebene, sondern nur eine Gerade, und du zeigst nur die Homöomorphie von [mm] \IR [/mm] zu einer Geraden, aber korrigier mich da ruhig).
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Hallo Espe,
Also ich verstehe die Aufgabe so, dass man eine Abbildung, die die Angegebenen Flächen beschreibt, finden muss und dann zeigen das diese Abbldung und Umkehrabb. stetig sind.
Also ich habe b und c als linear unabhängige Vektoren das t sagt ja nur aus das die Vektoren gleichmäßig gestreckt werden und nicht das sie linear abhängig sind. Das war zumindest meine Intention.
Bsp.:
[mm]2*\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}[/mm] und [mm] 2*\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}[/mm] sind zwar gleichmäßig gestreckt aber dennoch linear unabhängig.
Vielen Dank für deinen Beitrag
Christoph
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:21 Fr 23.07.2010 | | Autor: | Espe |
$ [mm] t\cdot{}\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\0 \end{pmatrix} [/mm] + [mm] t\cdot{}\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} [/mm] = [mm] t\cdot{}\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} [/mm] $ , um mal bei deinem Beispiel zu bleiben. Wie du siehst beschreibt dir das, was du meinst einfach nur eine Gerade.
Ich glaube du hast das Prinzip "Homöomorphie" noch ein bissl falsch verstanden : Was du NICHT suchst in diesem Falle, ist eine stetige und umkehrbare Parametrisierung deiner Räume. Du suchst stetige Abbildungen zwischen der Menge der Punkte auf der Kreisscheibe und der Menge der Punkte des Quadrats und der Menge der Punkte auf der Ellipse.
Klar, wenn du zeigen könntest das alle drei Räume homöomorph zum selben Intervall [a,b] oder [a,b) oder (a,b) wären, hättest du es auch geschafft. Das wird,wie der Forster wohl schon naheliegt, allerdings grob schiefgehen.
Was du effektiv also machen willst : Du willst jedem Punkt des Quadrats einen Punkt des Kreises zuordnen und umgekeht, und zwar jeweils stetig.
Eine Idee wäre z.B. sich mal alles ineinander verschachtelt aufzumalen mit dem Mittelpunkt im Nullpunkt, und sich die Geraden durch den Nullpunkt anzuschauen (Schnittpunkt einer Gerade mit Kreis wird von der Abbildung geworfen auf Schnittpunkt der Gerade mit der Ellipse, z.B.)
Das zu formalisieren bzw. zu schauen ob das klappt, und zu zeigen dass der Spaß dann stetig ist, ist dann dein Job (leider auch ohne meine Hilfe, aber vielleicht hilft ja sonst noch jemand, ich bin erstmal für 2-3 Tage weg nun)
Viel Erfolg bei der Sache, und nicht entmutigen lassen!
Espe
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Hallo Espe,
vielen Dank für deinen Beitrag. Also ich denke schon wie das Prinzip von Homöomorphie angelegt ist. Es geht dabei immer um eine Abbildung bzw. eine Funktion, die stetig ist und deren Umkehrung auch.
Wenn ich das mit dem schachteln mache, zeichne ich dann so, dass alle Flächen sich an den Ecken des Quadrates berühren?
Irgendwie wird mir das Prinzip der Augabe nicht klar. Was hat denn das mit Umkehrfktnen. zu tun?
Bitte helft mir.
Gruß
Christoph
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:20 So 25.07.2010 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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