Hom_G(V,W)=Hom_K(V,W)^G < Moduln/Vektorraum < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 15:48 So 22.11.2009 | | Autor: | Plapper |
| Aufgabe | | Beweisen Sie: [mm] Hom_G(V,W)=Hom_K(V,W)^G [/mm] . |
Hallo an alle!
Bei obiger Aussage ist G Gruppe, K Körper und V und W sind G-Moduln.
Nun zum Beweis (den ich so im Internet gefunden habe):
Seien V, W G-Moduln.
[mm] Hom_K(V,W) [/mm] wird zu einem G_Modul durch [mm] G\times Hom_K(V,W) \to Hom_K(V,W). [/mm] Dabei gilt: [mm] (\sigma, \Phi)\mapsto \sigma\Phi [/mm] := [mm] \sigma \Phi^{-1} \sigma, [/mm] wobei [mm] \sigma \in [/mm] G, [mm] \Phi \in Hom_K(V,W).
[/mm]
-> Bis dahin ist noch nichts passiert, das ist eine Vorschrift, eine Defintion, die so auch schon bei mir gegeben war.
G operiert trivial auf K, d.h für alle k [mm] \in [/mm] K, [mm] \sigma \in [/mm] G: [mm] \sigma*k=k
[/mm]
-> Das ist die Defintion dafür, wenn eine Gruppe trivial operiert.
Für ein [mm] \phi \in V^*=Hom_K(V,K) [/mm] gelte folgende Operation:
[mm] \sigma \phi [/mm] = [mm] \phi \circ \sigma^{-1}
[/mm]
-> Woher kommt das nun? Ich kann mir die Gleichung nicht erklären.
Nach Definition gilt: f [mm] \in Hom_K(V,W)^G \gdw \sigma*f=f [/mm]
-> Ja, das ist auch eine Defintion
bzw. [mm] f\circ \sigma =\sigma \circ [/mm] f für alle [mm] \sigma \in [/mm] G.
-> Das wiederrum erschließt sich mir nicht.
[mm] \Rightarrow Hom_K(V,W)^G =Hom_G(V,W)
[/mm]
Die letzte Folgerung kann ich auch nicht nachvollziehen.
Kann jemand helfen oder gar einen viel schöneren, einfacheren Beweis liefern?
Gruß
Plapper
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:20 Mi 25.11.2009 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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