Holomorphie < komplex < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 10:35 Di 14.08.2007 | | Autor: | lara.mil |
| Aufgabe | Untersuchen Sie die angegebenen Funktionen auf komplexe Differenzierbarkeit in 0
a) h(z) = [mm] \begin{cases} 1, & \mbox{für } z\not=0 \mbox{ } \\ i, & \mbox{für } z=0 \mbox{ } \end{cases}
[/mm]
b) g(z)= Re(z)+Im(z) |
a) wollte ich mit [mm] \limes_{h\rightarrow 0} \bruch{f(z_{0}+h) - f(z_{0})}{h} [/mm] berechnen.
also [mm] \limes_{h\rightarrow 0} \bruch{f(z_{0}+h) - i}{h} [/mm]
aber wie mach ich weiter. Ich dachte die Funktion wäre nicht komplex differenzierbar in 0, aber wie zeige ich das jetzt?!
b) ich wollte hier die Cauchy-Riemanschen-Diffgl benutzen. Nur wie?
Auch hier denke ich es ist nicht komplex diffbar in 0.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:19 Di 14.08.2007 | | Autor: | leduart |
Hallo lara
> Untersuchen Sie die angegebenen Funktionen auf komplexe
> Differenzierbarkeit in 0
> a) h(z) = [mm]\begin{cases} 1, & \mbox{für } z\not=0 \mbox{ } \\ i, & \mbox{für } z=0 \mbox{ } \end{cases}[/mm]
>
> b) g(z)= Re(z)+Im(z)
> a) wollte ich mit [mm]\limes_{h\rightarrow 0} \bruch{f(z_{0}+h) - f(z_{0})}{h}[/mm]
> berechnen.
> also [mm]\limes_{h\rightarrow 0} \bruch{f(z_{0}+h) - i}{h}[/mm]
Warum setzt du nicht [mm] z_o=0 [/mm] ein?
also [mm]\limes_{h\rightarrow 0} \bruch{f(h) - i}{h}[/mm]
und f(h)=1 für [mm] h\ne0.
[/mm]
> aber wie mach ich weiter. Ich dachte die Funktion wäre
> nicht komplex differenzierbar in 0, aber wie zeige ich das
> jetzt?!
>
> b) ich wollte hier die Cauchy-Riemanschen-Diffgl benutzen.
> Nur wie?
z=x+iy; f(z)=x+y jetzt die Cauchy-Riemanschen-Diffgl. benutzen.
allgemein, eine komplexe holomorphe fkt die nur reelle Werte hat ist konstant!
Gruss leduart
> Auch hier denke ich es ist nicht komplex diffbar in 0.
warum denn sonstwo? warum gerade in 0 nicht?
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:10 Di 14.08.2007 | | Autor: | lara.mil |
zu b)
Wäre dann [mm] v_{x}=v_{y}=0?
[/mm]
Aber wenn ich dann den Punkt (0,0) betrachte, wieso wären sie dann nicht erfüllt?
zu a) das heißt der Grenzwert [mm]\limes_{h\rightarrow 0} \bruch{f(h) - i}{h}[/mm] existiert immer nicht, wenn das h noch im nenner steht?
Das heißt nur wenn ich das h irgendwie rauskürzen kann, existiert die Ableitung (also jetzt allgemein gesehen?)
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:05 Di 14.08.2007 | | Autor: | leduart |
Hallo
> zu b)
> Wäre dann [mm]v_{x}=v_{y}=0?[/mm]
f(x+iy)=x+y [mm] f_x=f_y=1 [/mm] wie kommst du auf 0?
> Aber wenn ich dann den Punkt (0,0) betrachte, wieso wären
> sie dann nicht erfüllt?
>
> zu a) das heißt der Grenzwert [mm]\limes_{h\rightarrow 0} \bruch{f(h) - i}{h}[/mm]
> existiert immer nicht, wenn das h noch im nenner steht?
so kann man das nicht sagen, vielleicht hat man ja noch nicht geschickt genung umgeformt. aber dass (1-i)/h für h gegen 0 nicht endlich ist sollte man direkt sehen.
> Das heißt nur wenn ich das h irgendwie rauskürzen kann,
> existiert die Ableitung (also jetzt allgemein gesehen?)
Wenn dus richtig machst ja, denn dann ist lim ja immer [mm] \pm\infty!
[/mm]
Deine Schwierigkeiten liegen irgendwie nicht in der komplexen Analysis, sondern schon in der reellen, ich glaub, da solltest du ein bissel wiederholen ,-)
Gruss leduart
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:40 Di 14.08.2007 | | Autor: | lara.mil |
Also irgendwo habe ich noch einen Denkfehler.
es gilt doch f(z)=u(x,y)+iv(x,y)
aber wenn wir f(z) = Re(z)+Im(z) dann haben wir doch garkein v(x,y), weil wir keinen imaginären Anteil haben.
Ich dachte z.b. Im(5i) = 5, oder?
wo ist hier mein denkfehler.
eine freundin hat auch zu mir gesagt, [mm] f_{x}=f_{y}=1 [/mm] und deswegen können die Riemannschen-DGL nicht beide stimmen.
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> Also irgendwo habe ich noch einen Denkfehler.
> es gilt doch f(z)=u(x,y)+iv(x,y)
> aber wenn wir f(z) = Re(z)+Im(z) dann haben wir doch
> garkein v(x,y), weil wir keinen imaginären Anteil haben.
Es begegnet mir auch verschiedentlich: wenn etwas 0 ist glauben manche, es sei "nichts" (im Sinne von "nicht vorhanden") 
Also in einem solchen Falle ist der Imaginärteil $v(x,y)$ des Funktionswertes doch einfach konstant $=0$. Und deshalb sind die Ableitungen von $v(x,y)$ nach $x$ und nach $y$ beide ebenfalls konstant $=0$.
>
> Ich dachte z.b. Im(5i) = 5, oder?
Richtig. Aber es ist auch Im(0i) = 0 und, schlimmer noch, Im(5)=0: das mag Dich erstaunen.
> wo ist hier mein denkfehler.
Der Wert einer Funktion [mm] $f:D_f\mapsto \IC$ [/mm] ist eine komplexe Zahl und kann daher nie "keinen" Imaginärteil haben: der Imaginärteil dieser Zahl kann aber durchaus $0$ sein. Merke: "0 bedeutet nicht 'nichts'".
> eine freundin hat auch zu mir gesagt, [mm]f_{x}=f_{y}=1
[/mm] und
> deswegen können die Riemannschen-DGL nicht beide stimmen.
Die partiellen Ableitungen des Realteils $u(x,y)$ von $f$ nach $x$ bzw. $y$ sind in der Tat konstant $=1$. Also? - Also setze, was Du nun weisst, in die Cauchy-Riemannsche Diff'gleichung ein und Du siehst, dass sie nicht erfüllt ist.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:03 Di 14.08.2007 | | Autor: | lara.mil |
Ich glaub ich habs jetzt verstanden.
Ich muss einfach nur f(z)=x+y sehen und da ableiten, also [mm] u_{x}=1=u_{y} [/mm] und [mm] v_{x}=0=v_{y}. [/mm] oder?
Ich hab irgendwie zu konkret an bestimmte Punkte gedacht, z.b.
f(2+3i)=2+3=5
und dann [mm] u_{x} [/mm] und so weiter gebildet, aber das ist ja völliger quatsch!!
vielen dank für die vielen erklärungen!
Ich stand völlig auf dem Schlauch!
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> Ich glaub ich habs jetzt verstanden.
> Ich muss einfach nur f(z)=x+y sehen und da ableiten, also
> [mm]u_{x}=1=u_{y}[/mm] und [mm]v_{x}=0=v_{y}.[/mm] oder?
Ja genau. Im Grunde hatte ja schon leduart darauf hingewiesen, dass ja gilt: "allgemein, eine komplexe holomorphe fkt die nur reelle Werte hat ist konstant!"
Weshalb? - Eben: weil, falls die Funktion nur reelle Werte annimmt, ihr Imaginärteil $v(x,y)$ identisch $0$ ist und daher auch seine Ableitung identisch verschwindet. Dann kann die Cauchy-Riemannsche Diff'gleichung aber nur genau dann erfüllt sein, wenn auch die beiden partiellen Ableitungen des Realteils $u(x,y)$ von $f$ identisch verschwinden: und dies bedeutet, dass $f$ konstant ist.
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