Holomorphie-Potenzreihen < komplex < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Sei [mm] \var{G} (0\in \var{G}) [/mm] ein beschränktes Gebiet. Beweisen Sie: Wenn die in [mm] \var{G} [/mm] holomorphe Funktion [mm] \var{f} [/mm] mit [mm] \var{f}(0)=0 [/mm] , [mm] \var{f}'(0)>0 [/mm] das Gebiet [mm] \var{G} [/mm] eineindeutig auf sich selbst abbildet, dann ist [mm] \var{f}(z)=z [/mm] , [mm] z\in \var{G}.
[/mm]
Tipp: Entwickeln Sie [mm] \var{f} [/mm] und ihre Iterierten [mm] f_1=f [/mm] , [mm] f_2=f\circ f_1 [/mm] , [mm] \ldots [/mm] , [mm] f_n=f\circ f_{n-1} [/mm] , [mm] \ldots [/mm] in [mm] \var{z}=0 [/mm] in Potenzreihen und schätzen Sie ihre Koeffizienten mit Hilfe der Cauchyschen Integralformel ab. |
Tach Leute
Mit dieser Aufgabe kann ich eigentlich gar nichts so richtig anfangen. Also naja Potenzreihenentwicklung steht da:
[mm] f(z)=\summe_{n=0}^{\infty}\bruch{f^{(n)}(0)}{n!}\cdot z^n
[/mm]
mit Cauchyscher Integralformel:
[mm] f^{(n)}(0)=\bruch{n!}{2\pi i}\cdot\integral_{C}{\bruch{f(z)}{z^{n+1}}dz}
[/mm]
ergibt sich noch:
[mm] f(z)=\summe_{n=0}^{\infty}\bruch{z^n}{2\pi i}\cdot\integral_{C}{\bruch{f(z)}{z^{n+1}}dz}
[/mm]
So nun weiß ich aber nicht wirklich damit was anzufangen. Wäre nett, wenn mir jemand weiterhelfen kann.
Vielen Dank.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:20 Di 18.12.2007 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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