Holomorphe Funktion gesucht < komplex < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 10:30 Mi 12.11.2008 | | Autor: | Casy |
| Aufgabe | | Geben Sie an, für welche a, b [mm] \in \IR [/mm] das Polynom [mm] x^{2} +2axy+by^{2} [/mm] Realteil einer holomorphen Funktion f auf [mm] \IC [/mm] ist und bestimmen Sie für jedes solcher (a, b) diese holomorphen Funktionen. |
Hallo!
Zu dieser Aufgabe habe ich ein paar Ansätze, weiß aber irgendwann nicht mehr weiter. Vielleicht könnte jemand schauen, ob das erstmal stimmt:
f ist holomorph [mm] \Rightarrow [/mm] Re(f) und Im(f) sind harmonisch (wenn ich das richtig verstanden habe, haben wir das schon in ner anderen Aufgabe gezeigt.)
also muss der Realteil, den wir u(x,y) genannt haben, harmonisch sein.
u(x,y) = [mm] x^{2} [/mm] + 2axy + [mm] by^{2} [/mm] laut Aufgabenstellung.
[mm] \bruch{d^{2} u}{dx^{2} } [/mm] = 2, [mm] \bruch{d^{2} u}{dy^{2} } [/mm] = 2b
da u harmonisch: [mm] \bruch{d^{2} u}{dx^{2} } [/mm] + [mm] \bruch{d^{2} u}{dy^{2} } [/mm] = 2+2b = 0
[mm] \Rightarrow [/mm] b=-1
Stimmt das so?
Jetzt müsste ich noch das/die a rausfinden, und da habe ich noch keine Idee.
Es wäre toll, wenn mir jemand einen Tipp geben könnte und meinen Ansatz korrigiert!
Danke schonmal und Gruß!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 10:52 Mi 12.11.2008 | | Autor: | fred97 |
> Geben Sie an, für welche a, b [mm]\in \IR[/mm] das Polynom [mm]x^{2} +2axy+by^{2}[/mm]
> Realteil einer holomorphen Funktion f auf [mm]\IC[/mm] ist und
> bestimmen Sie für jedes solcher (a, b) diese holomorphen
> Funktionen.
> Hallo!
>
> Zu dieser Aufgabe habe ich ein paar Ansätze, weiß aber
> irgendwann nicht mehr weiter. Vielleicht könnte jemand
> schauen, ob das erstmal stimmt:
>
> f ist holomorph [mm]\Rightarrow[/mm] Re(f) und Im(f) sind harmonisch
> (wenn ich das richtig verstanden habe, haben wir das schon
> in ner anderen Aufgabe gezeigt.)
>
> also muss der Realteil, den wir u(x,y) genannt haben,
> harmonisch sein.
>
> u(x,y) = [mm]x^{2}[/mm] + 2axy + [mm]by^{2}[/mm] laut Aufgabenstellung.
>
> [mm]\bruch{d^{2} u}{dx^{2} }[/mm] = 2, [mm]\bruch{d^{2} u}{dy^{2} }[/mm] =
> 2b
>
> da u harmonisch: [mm]\bruch{d^{2} u}{dx^{2} }[/mm] + [mm]\bruch{d^{2} u}{dy^{2} }[/mm]
> = 2+2b = 0
> [mm]\Rightarrow[/mm] b=-1
>
> Stimmt das so?
Stimmt
>
> Jetzt müsste ich noch das/die a rausfinden, und da habe ich
> noch keine Idee.
Mach mal den Ansatz f = u+iv und bringe die Cauchy-Riemannschen DGLen ins Spiel
FRED
>
> Es wäre toll, wenn mir jemand einen Tipp geben könnte und
> meinen Ansatz korrigiert!
> Danke schonmal und Gruß!
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:06 Mi 12.11.2008 | | Autor: | Casy |
> Mach mal den Ansatz f = u+iv und bringe die
> Cauchy-Riemannschen DGLen ins Spiel
Die Cauchy-Riemannschen DGLen gelten, weil f holomorph ist.
Also, [mm] \bruch{du}{dx} [/mm] = 2x+2ay = [mm] \bruch{dv}{dy}, [/mm] (1)
- [mm] \bruch{du}{dy} [/mm] = -2by-2ax = [mm] \bruch{dv}{dx} [/mm] (2)
Nur wie komme ich jetzt auf v(x,y)
Eigentlich müsste ich (1) und (2) nach x bzw. y aufleiten und das dann zu v(x,y) zusammenfassen, aber irgendwie klappt das nicht... ich komme auf kein v, das, wenn ich nach x und y ableite, genau (1) und (2) rauskommen, weil:
[mm] v(y)=2xy+ay^{2} [/mm] und [mm] v(x)=-2by-ax^{2}
[/mm]
dh v(x,y)= [mm] -ax^{2} [/mm] + [mm] ay^{2} [/mm] + ??
Kannst du mir nen Tipp geben, hab ich mich verrechnet?
Und nochmal zu dem Teil vorher:
Was muss dann mein a sein? Ich hab ja nur das b bestimmt.
Wär nett, wenn du nochmal hilfst! Gruß!
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du bist nah dran.
aus
f(x,y) = u(x,y) + i v (x,y)
u(x,y) ist dein oben genannter Realteil.
v (x,y) muss eindeutig sein
du kriegst durch die cauchy riemannschen DGL 2 v(x,y); also einmal wenn du du/dx rechnest und nach nach dv aufintegrierst.
vergleiche einfach was du mit v(y) und v(x) bezeichnet hast und schau für welche Koeffizienten a,b diese beiden Funktionen gleich sind
P.s. Bei der Integration die Konstante nicht vergessen!
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:26 Mi 12.11.2008 | | Autor: | Casy |
> du kriegst durch die cauchy riemannschen DGL 2 v(x,y);
> also einmal wenn du du/dx rechnest und nach nach dv
> aufintegrierst.
...ah... hab vergessen, dass ich ja schon weiß, dass b=-1 ist.
dann hab ich, wenn ich b=-1 einsetze:
[mm] \bruch{dv}{dx} [/mm] = 2y-2ax und [mm] \bruch{dv}{dy} [/mm] = 2x+2ay.
integriert hab ich dann:
v(x,y) = [mm] 2xy-ax^{2} [/mm] + [mm] c_{1} [/mm] (y)
und
v(x,y) = [mm] 2xy+ay^{2} [/mm] + [mm] c_{2} [/mm] (x) , dann ist
[mm] c_{1} [/mm] (y) = [mm] ay^{2} [/mm] und [mm] c_{2} [/mm] (x) = [mm] ax^{2} [/mm] und für v heißt das:
v(x,y) = [mm] -ax^{2} +ay^{2} [/mm] + 2xy.
Denke, das stimmt so, weil wenn ich das als Probe nach x und y ableite, erhalte ich wieder
[mm] \bruch{dv}{dx} [/mm] und [mm] \bruch{dv}{dy} [/mm] von oben. Richtig?
Und das gilt für alle a [mm] \in \IR [/mm] , denn nach Schwarz sind hier [mm] u_{xy} [/mm] = [mm] u_{yx} [/mm] , das ist beides =2a.
Somit gilt 2a=2a (Schwarz), das ist richtig für alle a.
Ich glaub, ich bin fertig.
Wenn was nicht stimmt, bitte nochmal kurz schreiben!
Danke euch beiden!
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 15:47 Mi 12.11.2008 | | Autor: | fred97 |
Alles richtig !
Den folgenden SATZ habt Ihr wahrscheinlich nicht gehabt:
SATZ: ist u eine auf [mm] \IC [/mm] harmonische Funktion, so existiert eine auf [mm] \IC [/mm] holomorhe Funktion f mit : u = Re(f) auf [mm] \IC.
[/mm]
D.h. in Deinem Fall: u ist harmonisch [mm] \gdw [/mm] b=-1.
Obige Rechnerei, um herauszubekommen, dass jedes a zulässig ist, kann man sich also sparen, wenn mann obigen Satz kennt.
Für Interessierte noch ein
SATZ: Ist G ein Gebiet in [mm] \IC, [/mm] so gilt:
G ist einfach zusammenhängend [mm] \gdw
[/mm]
jede auf G harmonische Funktion ist auf G der Realteil einer holomorphen Funktion.
FRED
P.S.: [mm] \IC [/mm] ist einfach zusammenhängend.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:00 Mi 12.11.2008 | | Autor: | marsmaster |
ich versteh im moment gerade nicht was [mm] c_{1} [/mm] (y) sein soll;
[mm] c_{1} [/mm] ist konstant und nicht von irgendeiner variable abhängig
d.h. aus deinen 2 Gleichungen
[mm] v_{1} [/mm] (x,y) = 2xy - ax² + [mm] c_{1} [/mm]
[mm] v_{2} [/mm] (x,y) = 2xy + ay² + [mm] c_{2}
[/mm]
folgt (Koeffizientenvergleich): a = 0 und [mm] c_{1} [/mm] = [mm] c_{2} [/mm] mit c [mm] \in \IR
[/mm]
also hast du damit dann deine Holomorphen Funktionen:
[mm] f_{c} [/mm] (x,y) = u(x,y) + i v (x,y) .... mit c [mm] \in \IR
[/mm]
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 09:29 Do 13.11.2008 | | Autor: | Casy |
Fred:
Danke für die Sätze; den ersten hab ich eigentlich gekannt, aber irgendwie hatte ich den nicht präsent... danke jedenfalls, das macht's noch verständlicher!
Danke nochmal (auch marsmaster) für die Tipps!
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 09:31 Do 13.11.2008 | | Autor: | Casy |
...von meiner Seite aus keine Fragen mehr!
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