Holomorphe Funktion < komplex < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 10:17 Mo 21.05.2012 | | Autor: | anetteS |
| Aufgabe | Gibt es eine Funktion f, die holomorph in einer Umgebung vom
Ursprung ist und folgende Bedingungen erfüllt?
a) [mm] f(\bruch{1}{n})=sin(\bruch{\pi*n}{2})
[/mm]
b) [mm] f(\bruch{1}{n})=f(\bruch{-1}{n})=\bruch{1}{n^{3}} [/mm] |
Hallo!
Ich brauche mal wieder Eure Hilfe. Ich habe leider keinen Ansatz bei der obigen Aufgabe. Vielleicht kann mir jemand ein Tipp geben, damit ich dann selbst weitermachen kann.
Wir hatten in der VL ein Beispiel, auf welches sich die Aufgaben beziehen, glaube ich.
Ist f: C->C holomorph und gilt f(1/n)=sin(1/n), so gilt f(z)=sin(z), z aus C, da S:={1/n | n aus N} den Häufungspunkt 0 hat, d.h. die Nullstellenmenge von f(z)-sin(z) hat einen Häufungspunkt.
Warum betrachtet man da die Nullstellenmenge bzw. den Häufungspunkt von 1/n?
Vielen Dank für Eure Hilfe.
Viele Grüße,
Anette.
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:02 Mo 21.05.2012 | | Autor: | fred97 |
> Gibt es eine Funktion f, die holomorph in einer Umgebung
> vom
> Ursprung ist und folgende Bedingungen erfüllt?
> a) [mm]f(\bruch{1}{n})=sin(\bruch{\pi*n}{2})[/mm]
> b) [mm]f(\bruch{1}{n})=f(\bruch{-1}{n})=\bruch{1}{n^{3}}[/mm]
> Hallo!
> Ich brauche mal wieder Eure Hilfe. Ich habe leider keinen
> Ansatz bei der obigen Aufgabe. Vielleicht kann mir jemand
> ein Tipp geben, damit ich dann selbst weitermachen kann.
Zu a): hier brauchst Du noch nicht einmal die Holomorphie von f, sondern nur die Stetigkeit, denn es ist
[mm] f(\bruch{1}{2n+1})=sin(\bruch{\pi*(2n+1)}{2})=(-1)^n.
[/mm]
Gibt es eine in 0 stetige Funktion mit dieser Eigenschaft ?
>
> Wir hatten in der VL ein Beispiel, auf welches sich die
> Aufgaben beziehen, glaube ich.
> Ist f: C->C holomorph und gilt f(1/n)=sin(1/n), so gilt
> f(z)=sin(z), z aus C, da S:={1/n | n aus N} den
> Häufungspunkt 0 hat, d.h. die Nullstellenmenge von
> f(z)-sin(z) hat einen Häufungspunkt.
>
> Warum betrachtet man da die Nullstellenmenge bzw. den
> Häufungspunkt von 1/n?
Weil es damit funktioniert:
Setze g(z):=f(z)-sin(z).
Dann ist g(1/n)=0 für alle n. Ist f holomrph, so auch g. Wäre g nicht konstant = 0, so hätte die Nullstellenmenge von g keinen Häufungspunkt. Da die Nullstellenmenge von g aber einen Häufungspunkt hat, muß g konstant = 0 sein.
Zu b). Betrachte [mm] g(z)=f(z)-z^3.
[/mm]
Zeige zunächst wie oben, dass g konstant =0 sein muß, dass also gilt [mm] f(z)=z^3.
[/mm]
Nun bringe noch die Zahlen -1/n ins Spiel, um zu zeigen, dass ein f mit den angegebenen Eigenschaften nicht ecxistiert.
FRED
> Vielen Dank für Eure Hilfe.
>
> Viele Grüße,
> Anette.
>
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