Holomorphe Funktion < komplex < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:51 Di 06.05.2008 | | Autor: | Pacapear |
Hallo zusammen.
Ich arbeite mich gerade durch den Begriff der Holomorphie.
Also was ich verstanden habe, ist, dass eine Funktion dann holomorph heißt, wenn sie in jedem Punkt der Menge, auf der sie definiert ist, komplex differenzierbar ist.
Ist das richtig?
Womit ich nicht so ganz klar komme, ist die Holomorphie in einem Punkt. Eine Funktion heißt ja in einem Punkt holomorph, wenn sie in einer Umgebung um eben diesen Punkt holomorph ist.
Was bringt mir diese Definition?
Heißt "Holomorph in einem Punkt" das gleiche wie "Differenzierbar in einem Punkt"
Jetzt hab ich hier noch ein Beispiel, aber damit kann ich rein gar nix anfangen.
Beispiel
Konstante Funktionen sind holomorph auf [mm] \IC. [/mm] Ist nämlich [mm] f(z)\equiv [/mm] c, so gilt für jedes [mm] z_0:
[/mm]
[mm] f(z)=f(z_0)+0\* (z-z_0), [/mm] es ist also [mm] f'(z)\equiv [/mm] 0
Was will mir dieses Beispiel sagen ![[haee]](/images/smileys/haee.gif "[haee]")
Zunächst einmal weiß ich gar nicht, was dieses dreifache Gleichheitszeichen bedeutet.
Und dann, ok, 0 ist ja die Ableitung von c, also quasi mein [mm] \Delta(z_0), [/mm] weil [mm] \Delta(z_0)=f'(z_0). [/mm] Würd ich die Formel aus dem Beispiel danach übersetzen, hieße sie [mm] f(z)=f(z_0)+\Delta(z_0)*(z-z_0), [/mm] laut Definition lautet sie aber [mm] f(z)=f(z_0)+\Delta(z)*(z-z_0).
[/mm]
Kann mir jemand weiter helfen?
LG, Nadine
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:01 Di 06.05.2008 | | Autor: | felixf |
Hallo Nadine
> Also was ich verstanden habe, ist, dass eine Funktion dann
> holomorph heißt, wenn sie in jedem Punkt der Menge, auf der
> sie definiert ist, komplex differenzierbar ist.
Genau.
> Ist das richtig?
>
> Womit ich nicht so ganz klar komme, ist die Holomorphie in
> einem Punkt. Eine Funktion heißt ja in einem Punkt
> holomorph, wenn sie in einer Umgebung um eben diesen Punkt
> holomorph ist.
Genau. Und das bedeutet ja nichts anderes, als dass es eine Umgebung von dem Punkt gibt, so dass die Funktion in jedem Punkt der Umgebung komplex diff'bar ist.
> Was bringt mir diese Definition?
In dieser Definition wird die erste Definition benutzt: holomorph in einem Punkt heisst, dass es eine Umgebung ist, auf der die Funktion holomorph ist, und das heisst nach der ersten Definition ja, dass die Funktion in jedem Punkt der Umgebung komplex diff'bar ist.
> Heißt "Holomorph in einem Punkt" das gleiche wie
> "Differenzierbar in einem Punkt"
Nein, gerade nicht.
> Jetzt hab ich hier noch ein Beispiel, aber damit kann ich
> rein gar nix anfangen.
>
>
>
> Beispiel
> Konstante Funktionen sind holomorph auf [mm]\IC.[/mm] Ist nämlich
> [mm]f(z)\equiv[/mm] c, so gilt für jedes [mm]z_0:[/mm]
> [mm]f(z)=f(z_0)+0\* (z-z_0),[/mm] es ist also [mm]f'(z)\equiv[/mm] 0
>
>
>
> Was will mir dieses Beispiel sagen
Eigentlich nur, dass konstante Funktionen holomorph sind und dass deren Ableitung ueberall 0 ist.
> Zunächst einmal weiß ich gar nicht, was dieses dreifache
> Gleichheitszeichen bedeutet.
Man schreibt meist $f [mm] \equiv [/mm] c$ fuer eine Funktion $f$ und einen Skalar $c$, wenn $f$ ``konstant gleich $c$'' sein soll, also wenn $f(x) = c$ fuer alle $x$ im Definitionsbereich gilt.
> Und dann, ok, 0 ist ja die Ableitung von c, also quasi mein
> [mm]\Delta(z_0),[/mm] weil [mm]\Delta(z_0)=f'(z_0).[/mm] Würd ich die Formel
> aus dem Beispiel danach übersetzen, hieße sie
> [mm]f(z)=f(z_0)+\Delta(z_0)*(z-z_0),[/mm] laut Definition lautet sie
> aber [mm]f(z)=f(z_0)+\Delta(z)*(z-z_0).[/mm]
Hier nimmst du fuer [mm] $\Delta$ [/mm] die konstante Funktion $0$, also [mm] $\Delta(x) [/mm] = 0 = [mm] \Delta(x_0)$ [/mm] fuer alle $x$. Damit sind die beiden Formeln gleich.
Anders gesagt: [mm] $\Delta$ [/mm] ist ja der Differenzenquotient (ausserhalb [mm] $x_0$). [/mm] Fuer $x [mm] \neq x_0$ [/mm] ist also [mm] $\Delta(x) [/mm] = [mm] \frac{f(x) - f(x_0)}{x - x_0} [/mm] = [mm] \frac{c - c}{x - x_0} [/mm] = 0$, und dies ist (per Definition von [mm] $\Delta$, [/mm] und gleichzeitig ist dies die einzige Wahl mit der [mm] $\Delta$ [/mm] stetig wird) gleich [mm] $\Delta(x_0)$.
[/mm]
LG Felix
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:52 Di 06.05.2008 | | Autor: | Pacapear |
Hallo!
> > Beispiel
> > Konstante Funktionen sind holomorph auf [mm]\IC.[/mm] Ist
> > nämlich
> > [mm]f(z)\equiv[/mm] c, so gilt für jedes [mm]z_0:[/mm]
> > [mm]f(z)=f(z_0)+0\* (z-z_0),[/mm] es ist also [mm]f'(z)\equiv[/mm] 0
Irgendwie versteh ich das immer noch nicht
> Hier nimmst du fuer [mm]\Delta[/mm] die konstante Funktion [mm]0[/mm], also
> [mm]\Delta(x) = 0 = \Delta(x_0)[/mm] fuer alle [mm]x[/mm].
Warum nehme ich denn gerade die konstante Funktion 0?
Weil sie gleich der Ableitung ist?
Weil (wie du weiter unten sagst) nur mit ihr [mm] \Delta(z) [/mm] stetig wird?
Wie komme ich darauf, [mm] \Delta [/mm] eben so zu wählen?
> Damit sind die beiden Formeln gleich.
Ja, wenn ich [mm] \Delta [/mm] ebenso wähle, dann ist das klar, weil ja die Ableitung von c gleich 0 ist.
> Anders gesagt: [mm]\Delta[/mm] ist ja der Differenzenquotient
> (ausserhalb [mm]x_0[/mm]).
Das ist klar.
> Fuer [mm]x \neq x_0[/mm] ist also [mm]\Delta(x) = \frac{f(x) - f(x_0)}{x - x_0} = \frac{c - c}{x - x_0} = 0[/mm],
> und dies ist (per Definition von [mm]\Delta[/mm], und gleichzeitig
> ist dies die einzige Wahl mit der [mm]\Delta[/mm] stetig wird)
> gleich [mm]\Delta(x_0)[/mm].
Woher weiß ich, dass dies die einzige Wahl ist, für die [mm] \Delta [/mm] stetig wird?
Woher weiß ich überhaupt, wann [mm] \Delta [/mm] stetig ist?
Warum muss es überhaupt stetig werden? Nach Definitionsvorausetzung ist [mm] \Delta(z) [/mm] bereits stetig...
Oh mein Gott, ich versteh grad überhaupt nix mehr... :-(
Kann mir nochmal jemand weiter helfen?
Gibt es vielleicht noch ein einfacheres Beispiel...
LG, Nadine
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:11 Di 06.05.2008 | | Autor: | felixf |
Hallo Nadine!
> > > Beispiel
> > > Konstante Funktionen sind holomorph auf [mm]\IC.[/mm] Ist
> > > nämlich
> > > [mm]f(z)\equiv[/mm] c, so gilt für jedes [mm]z_0:[/mm]
> > > [mm]f(z)=f(z_0)+0\* (z-z_0),[/mm] es ist also [mm]f'(z)\equiv[/mm] 0
>
> Irgendwie versteh ich das immer noch nicht
Ok, dann gehen wir das nochmal durch 
> > Hier nimmst du fuer [mm]\Delta[/mm] die konstante Funktion [mm]0[/mm], also
> > [mm]\Delta(x) = 0 = \Delta(x_0)[/mm] fuer alle [mm]x[/mm].
>
> Warum nehme ich denn gerade die konstante Funktion 0?
Also: es soll ja $f(z) = [mm] f(z_0) [/mm] + [mm] \Delta(z) [/mm] (z - [mm] z_0)$ [/mm] gelten. Und wie du schon gemerkt hast: wenn $z [mm] \neq z_0$ [/mm] ist, dann heisst das gerade [mm] $\Delta(z) [/mm] = [mm] \frac{f(z) - f(z_0)}{z - z_0}$. [/mm] Fuer alle $z [mm] \neq z_0$ [/mm] ist der Wert von [mm] $\Delta(z)$ [/mm] also durch den Differenzenquotienten festgelegt!
Aber soweit waren wir ja schon:
> > Anders gesagt: [mm]\Delta[/mm] ist ja der Differenzenquotient
> > (ausserhalb [mm]x_0[/mm]).
>
> Das ist klar.
>
> > Fuer [mm]x \neq x_0[/mm] ist also [mm]\Delta(x) = \frac{f(x) - f(x_0)}{x - x_0} = \frac{c - c}{x - x_0} = 0[/mm],
> > und dies ist (per Definition von [mm]\Delta[/mm], und gleichzeitig
> > ist dies die einzige Wahl mit der [mm]\Delta[/mm] stetig wird)
> > gleich [mm]\Delta(x_0)[/mm].
>
> Woher weiß ich, dass dies die einzige Wahl ist, für die
> [mm]\Delta[/mm] stetig wird?
Wir haben also [mm] $\Delta$ [/mm] fuer alle $z [mm] \neq z_0$ [/mm] festgelegt. Der einzige Wert, der fehlt, ist [mm] $\Delta(z_0)$. [/mm] Jetzt soll die Funktion in [mm] $z_0$ [/mm] stetig sein, es muss also [mm] $\lim_{z \to z_0} \Delta(z) [/mm] = [mm] \Delta(z_0)$ [/mm] gelten.
Damit ist [mm] $\Delta(z_0)$ [/mm] eindeutig als dieser Grenzwert festgelegt -- soweit er denn existiert. Wenn er nicht existiert, kann man [mm] $\Delta$ [/mm] nicht stetig machen und die Funktion $f$ ist in [mm] $z_0$ [/mm] nicht differenzierbar.
In diesem Fall ist [mm] $\Delta(z) [/mm] = 0$ fuer alle $z [mm] \neq z_0$, [/mm] weshalb der Grenzwert auch $0$ ist -- also muss [mm] $\Delta(z_0) [/mm] = 0$ sein und damit ist die Ableitung 0.
Ist das jetzt etwas verstaendlicher?
Oder mal ein anderes Beispiel: $f(z) = z$. Dann ist [mm] $\Delta(z) [/mm] = [mm] \frac{f(z) - f(z_0)}{z - z_0} [/mm] = [mm] \frac{z - z_0}{z - z_0} [/mm] = 1$ fuer alle $z [mm] \neq z_0$. [/mm] Wegen dem Grenzwert muss wieder [mm] $\Delta(z_0) [/mm] = 1$ sein. Damit ist [mm] $f'(z_0) [/mm] = 1$.
LG Felix
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:31 Mi 07.05.2008 | | Autor: | Pacapear |
Hallo!
> Ok, dann gehen wir das nochmal durch
Vielen Dank für deine Mühe
> Wir haben also [mm]\Delta[/mm] fuer alle [mm]z \neq z_0[/mm] festgelegt. Der
> einzige Wert, der fehlt, ist [mm]\Delta(z_0)[/mm]. Jetzt soll die
> Funktion in [mm]z_0[/mm] stetig sein, es muss also [mm]\lim_{z \to z_0} \Delta(z) = \Delta(z_0)[/mm]
> gelten.
Folgende Aussage versteh ich nicht:
> Jetzt soll die
> Funktion in [mm]z_0[/mm] stetig sein, es muss also [mm]\lim_{z \to z_0} \Delta(z) = \Delta(z_0)[/mm]
> gelten.
Woher weiß ich, dass diese Grenzwert-Sache gelten muss, damit [mm] \Delta(z_0) [/mm] stetig ist?
Hat es was damit zu tun, dass wenn eine Funktion in einem Punkt differenzierbar ist, dass sie dann dort stetig ist?
(Das ist ein Satz aus unserer VL, allerdings kommt der erst nach der Definition.)
Wir haben gesagt, dass [mm] \Delta(z_0) [/mm] der Wert der Ableitung ist.
Kann ein Wert überhaupt stetig sein?
> Oder mal ein anderes Beispiel: [mm]f(z) = z[/mm]. Dann ist [mm]\Delta(z) = \frac{f(z) - f(z_0)}{z - z_0} = \frac{z - z_0}{z - z_0} = 1[/mm]
> fuer alle [mm]z \neq z_0[/mm]. Wegen dem Grenzwert muss wieder
> [mm]\Delta(z_0) = 1[/mm] sein. Damit ist [mm]f'(z_0) = 1[/mm].
Dieses Beispiel steht in meinen Aufzeichnungen direkt unten drunter...
Ich habe noch gar nicht gewagt es anzusehen...
Es tut mir echt Leid, dass ich euch hier so auf den Wecker falle, aber mit dieser Differenziarbarkeit hakt's echt total bei mir...
LG, Nadine
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 23:10 Mi 07.05.2008 | | Autor: | felixf |
Hallo Nadine!
> > Ok, dann gehen wir das nochmal durch
>
> Vielen Dank für deine Mühe
Wenn's dir hilft: gerne doch!
> Folgende Aussage versteh ich nicht:
>
> > Jetzt soll die
> > Funktion in [mm]z_0[/mm] stetig sein, es muss also [mm]\lim_{z \to z_0} \Delta(z) = \Delta(z_0)[/mm]
> > gelten.
>
> Woher weiß ich, dass diese Grenzwert-Sache gelten muss,
> damit [mm]\Delta(z_0)[/mm] stetig ist?
Du meinst: damit [mm] $\Delta$ [/mm] in [mm] $z_0$ [/mm] stetig ist.
> Hat es was damit zu tun, dass wenn eine Funktion in einem
> Punkt differenzierbar ist, dass sie dann dort stetig ist?
> (Das ist ein Satz aus unserer VL, allerdings kommt der
> erst nach der Definition.)
Nein, das ist etwas anderes. Hier geht es um den ganz normalen Stetigkeitsbegriff. Eine moegliche Definition lautet so:
Ist $U$ eine offene Menge (sei es im [mm] $\IR$ [/mm] oder [mm] $\IC$ [/mm] oder [mm] $\IR^n$ [/mm] oder was auch immer) und $f : U [mm] \to \R$ [/mm] (oder [mm] $\to \IC$ [/mm] oder ...) eine Funktion, so heisst $f$ in [mm] $z_0 \in [/mm] U$ stetig, wenn [mm] $\lim_{z \to z_0} [/mm] f(z) = [mm] f(z_0)$ [/mm] gilt.
Man kann auch sagen: $f$ heisst stetig in [mm] $z_0$, [/mm] wenn fuer jede Folge [mm] $a_n, [/mm] n [mm] \in \IN$ [/mm] in $U$ mit [mm] $a_n \to z_0$ [/mm] gilt [mm] $f(a_n) \to f(z_0)$.
[/mm]
Oder, wieder gleichbedeutend: $f$ heisst stetig in [mm] $z_0$, [/mm] wenn es zu jeder Umgebung $V'$ von [mm] $f(z_0)$ [/mm] eine Umgebung $U'$ von [mm] $z_0$ [/mm] (in $U$) gibt mit $f(U') [mm] \subseteq [/mm] V'$.
Der Limes von Funktionen wird ja gerade ueber den Limes von Folgen definiert, damit sind die ersten beiden Definitionen gleich. Dass die dritte gleich ist sieht man, wenn man sich anschaut, wann eine Folge konvergiert: eine Folge [mm] $(a_n)_{n\in\IN}$ [/mm] konvergiert gegen einen Punkt $a$, wenn fuer jede Umgebung $U$ von $a$ alle Folgenglieder ab einem bestimmten Folgenglied in der Umgebung liegen.
> Wir haben gesagt, dass [mm]\Delta(z_0)[/mm] der Wert der Ableitung
> ist.
> Kann ein Wert überhaupt stetig sein?
Nein. Gemeint ist ja auch, dass die Funktion [mm] $\Delta$ [/mm] im Punkt [mm] $z_0$ [/mm] stetig ist.
> > Oder mal ein anderes Beispiel: [mm]f(z) = z[/mm]. Dann ist [mm]\Delta(z) = \frac{f(z) - f(z_0)}{z - z_0} = \frac{z - z_0}{z - z_0} = 1[/mm]
> > fuer alle [mm]z \neq z_0[/mm]. Wegen dem Grenzwert muss wieder
> > [mm]\Delta(z_0) = 1[/mm] sein. Damit ist [mm]f'(z_0) = 1[/mm].
>
> Dieses Beispiel steht in meinen Aufzeichnungen direkt unten
> drunter...
> Ich habe noch gar nicht gewagt es anzusehen...
Ok
Hier noch ein weiteres: $f(z) = [mm] z^2$. [/mm] Dann gilt [mm] $\frac{f(z) - f(z_0)}{z - z_0} =\frac{z^2 - z_0^2}{z - z_0} [/mm] = [mm] \frac{(z - z_0) (z + z_0)}{z - z_0} [/mm] = z + [mm] z_0$ [/mm] fuer $z [mm] \neq z_0$: [/mm] wenn man also [mm] $\Delta(z) [/mm] := z + [mm] z_0$ [/mm] definiert, bekommt man eine in [mm] $z_0$ [/mm] (und auch sonst ueberall) stetige Funktion [mm] $\Delta$ [/mm] mit $f(z) = [mm] f(z_0) [/mm] + [mm] \Delta(z) [/mm] (z - [mm] z_0)$ [/mm] fuer alle $z$.
> Es tut mir echt Leid, dass ich euch hier so auf den Wecker falle,
So schlimm ist's noch nicht 
> aber mit dieser Differenziarbarkeit hakt's echt total bei mir...
Ich denke du solltest dir auch die Stetigkeit noch ein wenig anschauen. Dann wird dir vielleicht klarer was der Grenzwert mit der Stetigkeit zu tun hat.
LG Felix
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