Holomorphe Fuktionen < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:27 Do 12.01.2006 | | Autor: | DOKTORI |
| Aufgabe | Es sei G [mm] \subset [/mm] C ein Gebit und f: G [mm] \mapsto [/mm] holomorph.
Zeigen Sie, daß aus |f | [mm] \equiv [/mm] const folgt,daß f konstant ist auf G. |
Hallo!
Bei mir kommt die Aufgabe nicht so klar.Ich weiß, dass ein fuktion f heißt holomorph in einem punkt z [mm] \in [/mm] C wenn sie in einer Umgebung von z komplex differenzirbar ist.Komplez differzirbar ist beimir auch klar.Ich weiß nicht wie ich mit der Aufgabe umgehen soll.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:45 Do 12.01.2006 | | Autor: | Julius |
Hallo!
Wenn $f [mm] \equiv [/mm] 0$ gilt, ist nichts zu zeigen. Ansonsten gibt es ein [mm] $z_0$ [/mm] mit [mm] $f(z_0)\ne [/mm] 0$ und wegen der Stetigkeit von $f$ auch eine ganze Umgebung $U$ von [mm] $z_0$, [/mm] auf der $f$ nicht veschwindet. Da $|f|$ konstant ist, so auch [mm] $|f|^2=f\bar{f}$. [/mm] Daher ist [mm] $\bar{f}=\frac{f}{|f|^2}$ [/mm] holomorph. Wendet man nun auf [mm] $\bar{f}$ [/mm] die CR-Differentialgleichungen an und vergleicht diese mit den CR-Differentialgleichungen von $f$, so sieht man, dass $f$ auf $G$ konstant sein muss.
Jetzt musst du noch zeigen, dass $f$ dann auch global konstant ist. Da dir entsprechende Sätze fehlen, die das sofort erledigen, musst du es elementar zeigen. Sei [mm] $z_1 \in \IC$ [/mm] beliebig. Dann findest du einen stetigen Weg [mm] $\gamma:[0,1] \to \IC$ [/mm] mit [mm] $\gamma(0)=z_0$, $\gamma(1)=z_1$. [/mm] Sei
(*) [mm] $t_0:= \sup\{t \in [0,1]\, : \, f(\gamma(t)) =f(z_0)\}$. [/mm]
Zu zeigen ist [mm] $t_0=1$. [/mm] Wegen der Stetigkeit von $f$ gilt
[mm] $f(\gamma(t_0))=f(z_0)$. [/mm]
Wäre [mm] $t_0 \ne [/mm] 1$, so könnte man für [mm] $\gamma(t_0)$ [/mm] die gleiche Argumentation durchführen wie oben durchführen, d.h. es gibt eine Umgebung um [mm] $\gamma(t_0)$, [/mm] auf der $f$ konstant ist. Dies stellt einen Widerspruch da zu (*). Daher ist [mm] $t_0=1$, [/mm] und alles ist gezeigt.
Liebe Grüße
Julius
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