Höhe im Dreieck < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
|
Hallo
Ich hab eine Frage zur Vektorrechnung, Kenntnisse über Extremwertaufgaben sind vorrausgesetzt!
Es dreht sich um folgende Aufgabe:
Gegeben sind drei Punkte
A(2/1/0)
B(3/-2/2)
C(3/-4/2)
Diese drei Punkte bilden ein Dreieck .
Gesucht ist die Höhe h auf c
Wir haben diese Aufgabe gelöst indem wir
die Strecke [mm] \overline{AC} [/mm] berechnet haben = [mm] \wurzel{30}
[/mm]
den Winkel [mm] \alpha [/mm] = 12,6°
und dann mit sin( [mm] \alpha [/mm] ) = [mm] \bruch{Gegenkathete}{Hypothenuse} [/mm] die gesuchte Strecke hc berechnet haben!
------------------
Für mich stellt sich jetzt die Frage ob man diese Aufgabe auch auf einem anderen Weg lösen kann...
Ich hab mir überlegt dass man den Abstand von dem Punkt C zur allen Ebenen die durch [mm] \overline{AB} [/mm] gebildet werden können berechnet... und davon dann mittels Ableitungen das Maximum bestimmt.
Leider haben wir in der Schule noch nicht eine solche Formel... also eine in der der Winkel als variable Größe den Abstand beeinflusst... ich hab mir überlegt dass es sich bei der gesuchten Formel um eine Sinus-Funktion handelt... da die Ebenen ja um die Strecke [mm] \overline{AB} [/mm] rotieren...
Ich hoffe man kann mir helfen!!! Wäre echt cool... Schreibe am Freitag Klausur und der Lehrer wäre bestimmt überrascht wenn ich die Aufgabe ein bisschen anders löse.
Also schonmal danke für eure Hilfe
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:44 Mo 24.10.2005 | | Autor: | Disap |
> Hallo
Hi.
> Ich hab eine Frage zur Vektorrechnung, Kenntnisse über
> Extremwertaufgaben sind vorrausgesetzt!
Was hat die Aufgabe mit einer Extremwertaufgabe zu tun? Alle Punkte im Dreieck sind gegeben. Und man soll die Höhe im Dreieck berechnen. Das hat mit Extremwert, meines Erachtens nach, nichts zu tun. Evtl. verstehe ich die Frage auch gerade falsch.
> Es dreht sich um folgende Aufgabe:
> Gegeben sind drei Punkte
> A(2/1/0)
> B(3/-2/2)
> C(3/-4/2)
>
> Diese drei Punkte bilden ein Dreieck .
>
> Gesucht ist die Höhe h auf c
>
> Wir haben diese Aufgabe gelöst indem wir
> die Strecke [mm]\overline{AC}[/mm] berechnet haben = [mm]\wurzel{30}[/mm]
>
> den Winkel [mm]\alpha[/mm] = 12,6°
>
> und dann mit sin( [mm]\alpha[/mm] ) =
> [mm]\bruch{Gegenkathete}{Hypothenuse}[/mm] die gesuchte Strecke hc
> berechnet haben!
> ------------------
>
>
> Für mich stellt sich jetzt die Frage ob man diese Aufgabe
> auch auf einem anderen Weg lösen kann...
Natürlich. In der linearen Algebra gibt es meistens merhere Möglichkeiten. Allerdings hat das dann auch immer etwas mit dem Wissensstandard zu tun.
Das Dreieck, was du hast, setzt sich aus drei Punkten zusammen. Mit einer Skizze eines beliebigen Dreiecks siehst du, dass zwischen der Gerade (aus den Punkten
A(2/1/0)
B(3/-2/2)
) und dem Punkt C die Höhe liegt. Also muss die Höhe der Abstand zwischen der Geraden g: [mm] \vec{x} [/mm] zum Punkt C.
hier
> Ich hab mir überlegt dass man den Abstand von dem Punkt C
> zur allen Ebenen die durch [mm]\overline{AB}[/mm] gebildet werden
> können berechnet... und davon dann mittels Ableitungen das
> Maximum bestimmt.
Was heißt das konkret? Ich kann dir nicht folgen, von welchen EBENEN (Mehrzahl) du redest. Wenn du aus den drei gegebenen Punkten eine Ebene bilden willst, dann liegen auch diese Punkte in der Ebene, da ist dann erst einmal nichts mit Abstand berechnen.
> Leider haben wir in der Schule noch nicht eine solche
> Formel... also eine in der der Winkel als variable Größe
> den Abstand beeinflusst... ich hab mir überlegt dass es
> sich bei der gesuchten Formel um eine Sinus-Funktion
> handelt... da die Ebenen ja um die Strecke [mm]\overline{AB}[/mm]
> rotieren...
>
>
> Ich hoffe man kann mir helfen!!! Wäre echt cool... Schreibe
> am Freitag Klausur und der Lehrer wäre bestimmt überrascht
> wenn ich die Aufgabe ein bisschen anders löse.
>
> Also schonmal danke für eure Hilfe
[Anmerkung: Ab dem roten markierten Text bin ich nicht sicher, habe ich die Frage eigentlich nicht beantwortet - finde allerdings auch, dass die Frage etwas unklar und zu allgemein gehalten ist].
Schöne Grüße Disap
|
|
|
| |
|
Es ist mir schon klar dass man die höhe c einfach berechnen kann indem ich
den Abstand von C auf die Strecke AB berechne...
aber das ham wir ja schon gemacht und ich interessiere mich halt für einen andern lösungsweg
um nochmal deutlich zumachen worum es geht...
Es gibt unendlich viele Ebenen die um die Strecke AB rotieren... eine davon liegt so dass der Abstand von C zur Ebene = Abstand von C zur Geraden ist...
und diese Ebene suche ich, und zwar mittels Ableitung... denn diese Ebene hat den maximalen Abstand zum Punkt C... alle anderen Ebenen sind näher dran.
und jezz ist halt die Frage ob jmd ne Fpormel kennt mit der der Abstand einer Ebene zu einem Punkt berechnet werden kann, als zusätzluicher Faktor aber noch der Winkel als variable größe einfließt... vermutlich in sinusform...
Dann müsste ich nur noch ableiten und wüsste bei welchem Winkel der Abstand am größten ist und das dann in die normale Formel einsetzen!!!
|
|
|
| |
|
Hallo NightmareVirus,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
> Es ist mir schon klar dass man die höhe c einfach berechnen
> kann indem ich
> den Abstand von C auf die Strecke AB berechne...
nein, damit berechnest du noch nicht die Strecke (oder vielleicht auch die Gerade?). Es kommt also darauf an, was genau du berechnen willst.
Grundsätzlich:
die Höhe im Dreieck liegt auf einer Geraden, die
1. durch die zugehörige Ecke (C) geht,
2. auf der gegenüberliegenden Strecke (Geraden) senkrecht (orthogonal) steht.
Aus diesen beiden Eigenschaften kann man eine Berechnungsvorschrift herleiten, die das  Skalarprodukt und seine Eigenschaften ausnutzt. Kennst du es schon?
>
> aber das ham wir ja schon gemacht und ich interessiere mich
> halt für einen andern lösungsweg
>
> um nochmal deutlich zumachen worum es geht...
>
> Es gibt unendlich viele Ebenen die um die Strecke AB
> rotieren... eine davon liegt so dass der Abstand von C zur
> Ebene = Abstand von C zur Geraden ist...
>
> und diese Ebene suche ich, und zwar mittels Ableitung...
> denn diese Ebene hat den maximalen Abstand zum Punkt C...
> alle anderen Ebenen sind näher dran.
nein, denke nicht an Ebenen, sondern daran, dass der Abstand eines Punktes (C) von einer Geraden [mm] (\overline{AB}) [/mm] minimal ist.
Berechne also für einen beliebigen Punkt P auf der Geraden [mm] \overline{AB} [/mm] die Länge der Strecke [mm] \overright{CP} [/mm] und suche dann den minimalen Wert.
Gruß informix
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 00:48 Di 25.10.2005 | | Autor: | leduart |
Hallo
Warum denn einfach, wenns auch umständlich geht?
Dein Frage ist so ähnlich wie: man berechne den Schnittpunkt von 2 gegebenen Geradeny(x) und z(x). Normale Lösung: schnede die Geraden durch gleichsetzen von z und y . aber warum nicht die Entfernung von je 2 Punkten bestimmen, und das Minimieren?
Bei dir weisst du doch, dass die Ebene senkrecht zu der des Dreiecks rauskommen muss, und dann kannst du gleich den Abstand dazu bestimmen.
Aber des Menschen Wille ist sein Himmelreich: also fang mit der Abene an, die durch A, [mm] \overrightarrow{AB} [/mm] und [mm] \overrightarrow{AC} [/mm] gegeben ist, dann lass C' auf einem Kreis oder nem Quadrat einmal um [mm] \overrightarrow{AB} [/mm] rumlaufen und bestimm den Abstand von C . das kannst du dann maximieren, wenn dir die Lust nicht vergangen ist!
Aber wenn schon ist doch Loddars Minimierungsproblem wenigstens etwas einfacher, und du kannst auch ableiten.
Gruss leduart
|
|
|
|
