Höhe einer Pyramide < Geraden und Ebenen < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:51 Mi 29.10.2008 | | Autor: | sarah301 |
| Aufgabe | Eine Pyramide hat als Grundfläche das Dreieck A (5/0/0), B (2/5/1), C (-2/2/2), sowie als Spitze den Punkt D (7/4/10). Die gerade h geht durch D und ist orthogonal zu ABC.
a.) Bestimme die Höhe der Pyramide.
b.) Berechne den Schnittwinkel von h mit AD. |
also zu a.) habe ich mir überlegt, die drei punkte A, B und C in einer Koordinatengleichung einzusetzen, also in a1x1 + a2x2 + a3x3 = b
und dann im LGS aufzulösen.
Wenn ich das jedoch tue, filtert sich bei mir keine Variable heraus...
Habe also:
1. 5a1 = b
2. 2a1 + 5a2+ 1a3 = b
3. -2a1 + 2a2 +2a3 = b
Ist das bisher so richtig,bzw. wie kann ich weiter auflösen?
wäre lieb wenn ihr mir da helfen könntet!
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Also um die Höhe der Pyramide auszurechnen musst du eugentlich den Abstand der Spitze D zu der Ebene der Grundfläche E(A,B,C) berechnen.
Stelle die Ebene erst in Parameterform dann wandle in Normalvorm und schließlich in Hesse-Normal um, um den Abstand zu berechen.
Wenn du das nicht kennst oder die Formen nicht kennst kann ich es dir gerne vorrechnen.
LG
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:03 Mi 29.10.2008 | | Autor: | sarah301 |
davon habe ich schon gehört,aber bin nicht so der spezialist in Mathe=)
Wenn es nicht zu lange dauert für dich, wäre es super nett wenn du es mir vorrechnen könntest. Dann kann ich das alles vielleicht besser nachvollziehen.
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Also [mm] E^{P}(A,B;C):\overrightarrow{x}=\overrightarrow{A}+\alpha\overrightarrow{AB}+\beta\overrightarrow{AC}=\vektor{5 \\ 0\\0}+\alpha\vektor{-3 \\ 5\\1}+\beta\vektor{-7 \\ 2\\2}\vmat{ \\ }*\vektor{8 \\ -1\\29}
[/mm]
[mm] E^{N}:\overrightarrow{x}*\vektor{8 \\ -1\\29}=40
[/mm]
[mm] E^{HN}:\bruch{\overrightarrow{x}*\vektor{8 \\ -1\\29}-40}{\wurzel{8^2+1^2+29^2}}=0
[/mm]
[mm] E^{HN}:\bruch{\overrightarrow{x}*\vektor{8 \\ -1\\29}-40}{\wurzel{906}}=0
[/mm]
[mm] \bruch{\overrightarrow{D}*\vektor{8 \\ -1\\29}-40}{\wurzel{906}}=h_{Pyramide}=\bruch{\vektor{7\\ 4\\10}*\vektor{8 \\ -1\\29}-40}{\wurzel{906}}=\bruch{302}{\wurzel{906}}=\bruch{\wurzel{302}}{\wurzel{3}}=10,03327796etc
[/mm]
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:38 Mi 29.10.2008 | | Autor: | sarah301 |
danke, sehr nettvon dir.
aber wie kommst du auf die RIchtungsvektoren (-3/5/1) und (-7/2/2) ?
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:43 Mi 29.10.2008 | | Autor: | sarah301 |
sorry, ist mir jetzt logisch, dass es die vektoren der strecken sind.
aber den vektor (8/-1/29) verstehe ich nicht?
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also das ist der sogenannte Normalvektor der othogonal zur Ebene ist !
Man erhält in durch Vektorprodukt der beiden Richtungsvektoren:
[mm] \vektor{-3 \\ 5\\1}\times\vektor{-7\\2 \\2}=\vektor{8\\-1 \\29}
[/mm]
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:14 Mi 29.10.2008 | | Autor: | sarah301 |
danke...
habe beim normalenvekotor jedoch (8/1/29) anstatt (8/-1/29) heraus.
bist du dir da ganz sicher?
und wie kommst du auf die 40?
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also bei dem -1 bin ich mir sicher da bei dem vektorprodukt durch determinantenberechnung in der mitte ein minus davor kommt.
bei der 40:
man tut die ganze gleichung der ebene mit dem normalvektor multiplizieren.
Dabei fallen die richtungsvektorne weg weil sie orthogonal zum normalvektor sind, der ortsvektor jedoch muss multipliziert werden:
Das Skalarprodukt von rtsvektor mal normalvektor ist (8*5)+(-1*0)+(29*0)=40
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Übrigens wenn du Hesse-Normalform noch nicht durchgenommen hast dann kannst du auch die Gerade h durch die Spitze D mit richtungsvektor=Normalvektor der Ebene (8/-1/29) mit der ebene selber schneiden!
Der Abstand zwischen schnittpunkt und D ist dann die Höhe
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[mm] \overrightarrow{AB}=\overrightarrow{B}-\overrightarrow{A}=\vektor{2 \\ 5\\1}-\vektor{ 5\\ 0\\0}=\vektor{-3 \\5 \\1}
[/mm]
Der erste Richtungsvektor der Ebene ist der Vektor von A nach B Also AB=B-A
Der zweite ist einfach von A nach C also AC=C-A
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