Höchster Wasserstand < Extremwertprobleme < Differenzialrechnung < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
|
| Aufgabe | Der Wasserstand h (in m) bei Spiekeroog an der Nordseeküste schwankt zwischen o m bei Niedrigwasser und etwa 3 m bei Hochwasser. Er lässt sich in Abhängigkeit von der Zeit t (in Std. nach Hochwasser) modellhaft beschreiben druch h(t) = a + [mm] b*cos(\bruch{\pi}{6}*t)
[/mm]
a) Bestimmen Sie die Parameter a und b. Skizzieren Sie den Graphen von h.
b) Zu welchen Zeitpunkten innerhalb von 24 Stunden steigt der Wasserstand am stärksten? |
Hallo Zusammen,
a) der Graph von h ist laut Lösungsbuch h(t) = [mm] 1,5+1,5cos(\bruch{\pi}{6}t).
[/mm]
Hier ist die Graphik dazu: [Dateianhang nicht öffentlich].
Wie kommt man auf die 1,5 sowohl für die Parameter a und b?
b) h''(t) = [mm] -\bruch{\pi²}{24}cos(\bruch{\pi}{6}t)
[/mm]
Aus h''(t) = 0 folgt im Intervall [0;24] laut Lösungsbuch [mm] t_{1} [/mm] = 3, [mm] t_{2} [/mm] = 9, [mm] t_{3} [/mm] = 15, [mm] t_{4} [/mm] = 21 (jeweils in Stunden).
Wie komme ich denn auf diese 4 Lösungen für t?
Bitte um Hilfe
matherein
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: png) [nicht öffentlich]
|
|
| |
|
Hallo
> Der Wasserstand h (in m) bei Spiekeroog an der Nordseeküste
> schwankt zwischen o m bei Niedrigwasser und etwa 3 m bei
> Hochwasser. Er lässt sich in Abhängigkeit von der Zeit t
> (in Std. nach Hochwasser) modellhaft beschreiben druch h(t)
> = a + [mm]b*cos(\bruch{\pi}{6}*t)[/mm]
> a) Bestimmen Sie die Parameter a und b. Skizzieren Sie den
> Graphen von h.
> b) Zu welchen Zeitpunkten innerhalb von 24 Stunden steigt
> der Wasserstand am stärksten?
> Hallo Zusammen,
>
> a) der Graph von h ist laut Lösungsbuch h(t) =
> [mm]1,5+1,5cos(\bruch{\pi}{6}t).[/mm]
>
> Hier ist die Graphik dazu: ![[a]](/images/paperclip.gif "Dateianhänge") Datei-Anhang.
>
> Wie kommt man auf die 1,5 sowohl für die Parameter a und
> b?
>
> b) h''(t) = [mm]-\bruch{\pi²}{24}cos(\bruch{\pi}{6}t)[/mm]
> Aus h''(t) = 0 folgt im Intervall [0;24] laut Lösungsbuch
> [mm]t_{1}[/mm] = 3, [mm]t_{2}[/mm] = 9, [mm]t_{3}[/mm] = 15, [mm]t_{4}[/mm] = 21 (jeweils in
> Stunden).
>
> Wie komme ich denn auf diese 4 Lösungen für t?
>
> Bitte um Hilfe
> matherein
Nun, mal zur Teilaufgabe a)
Aus deiner Grafik geht hervor, dass beispielsweise bei t = 6 std. der Wasserstand bei 0m, bei t = 12 std. bei 3 m ist.
Diese Zahlen kannst du nun in deine gegebene Gleichung einsetzen:
0 = a + [mm] b*cos(\bruch{\pi}{6}*6) [/mm] = a + [mm] b*cos(\pi)
[/mm]
3 = a + [mm] b*cos(\bruch{\pi}{6}*12) [/mm] = a + [mm] b*cos(2\pi)
[/mm]
Nun ist es ganz einfach, a und b zu bestimmen.
Zur Aufgabe b) sei mal so viel gesagt.. Um was für einen Punkt handelt es sich bei einer Funktion, wenn die zweite Ableitung an dieser Stelle = 0 ist?
An welchen Stellen wird der Cosinus = 0? (Davor hast du ja einen konstanten Wert..)
Siehst du es jetzt?
Grüsse, Amaro
|
|
|
| |
|
Hallo Arcesius,
zu a) I a + [mm] b*cos(\pi) [/mm] = 0
II a + [mm] b*cos(2\pi) [/mm] = 3
aus I folgt: a = [mm] -b*cos(\pi)
[/mm]
I eingesetzt in II ergibt: [mm] -b*cos(\pi) [/mm] + [mm] b*cos(2\pi) [/mm] = 3
Wie rechne ich weiter?
zu b) Es handelt sich um einen Wendepunkt, wenn die zweite Ableitung an dieser Stelle ist. Der Cosinus wird an den Stellen -6, 6, 12 und 18 = 0, oder nicht? Aber wie ist denn der erste Schritt der Gleichungslösung, ich komme leider nicht selber darauf!
Danke für die Mühe
matherein
|
|
|
| |
|
Hallo,
zu a)
(1) [mm] a+b*cos(\pi)=0 [/mm] du machst dir das Leben ganz schwer [mm] cos(\pi)=-1
[/mm]
(2) [mm] a+b*cos(2\pi)=3 [/mm] du machst dir auch hier das Leben ganz schwer [mm] cos(2\pi)=1
[/mm]
jetzt solltest du die Funktion finden
zu b)
der Wasserstand soll am stärksten steigen, also ist die 2. Ableitung gleich Null, gleichzeitig aber die 1. Ableitung größer Null, es gibt ja auch noch die Möglichkeit, der Wasserstand fällt, mir gefällt aber nicht an der Aufgabe, schau mal im Netz nach den Tidezeiten, Niedrigwasser und Hochwasser hat gibt es nicht alle sechs Stunden, na gut eine Modellrechnung,
Steffi
|
|
|
| |
|
Guten Abend Steffi,
also die Teilaufgabe a habe ich jetzt verstanden, danke dafür.
Aber wie ich bei der Teilaufgabe b) auf die 4 Lösungen für t kommen soll, ist mir immer noch nicht klar.
Kann mir irgendjemand sagen, wie der erste Gleichungsschritt zur Lösung der Gleichung [mm] -\bruch{\pi²}{24}cos(\bruch{\pi}{6}t) [/mm] = 0 ist ?
Danke im Voraus.
matherein
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:02 So 21.06.2009 | | Autor: | leduart |
Hallo
1. Schritt:
> [mm]-\bruch{\pi²}{24}cos(\bruch{\pi}{6}t)[/mm] = 0 ist ?
[mm] cos(\bruch{\pi}{6}t)=0
[/mm]
gruss leduart
|
|
|
| |
|
Hallo Leduart,
ok, dieser Schritt war mir eigentlich selbst schon klar. Ich hätte ihn Mal lieber selbst hinschreiben sollen.
Müsste [mm] cos(\bruch{\pi}{6}t)=0 [/mm] nicht eigentlich 0 ergeben? Oder muss man wegen dem Cosinus irgendwie anders rechnen.
Ich brauche also den zweiten Schritt, bitte!
matherein
|
|
|
| |
|
> Hallo Leduart,
Trotzdem Hallo ^^
>
> ok, dieser Schritt war mir eigentlich selbst schon klar.
> Ich hätte ihn Mal lieber selbst hinschreiben sollen.
> Müsste [mm]cos(\bruch{\pi}{6}t)=0[/mm] nicht eigentlich 0 ergeben?
> Oder muss man wegen dem Cosinus irgendwie anders rechnen.
> Ich brauche also den zweiten Schritt, bitte!
>
> matherein
>
Du vergisst immer, dass [mm] \pi [/mm] keine Unbekannte ist. Das ist dir schon bei den anderen Aufgaben zuerst entgangen :)
Die Cosinus-Funktion ist periodisch und schneidet immer in regelmässigen Abständen die x-Achse, nämlich bei [mm] \bruch{\pi}{2}, \bruch{3\pi}{2}... [/mm]
Jetzt musst du nur noch ausrechnen, für welche t [mm] \in [/mm] [0;24] sich dein [mm] \bruch{\pi}{6}*t [/mm] auf ein solches Vielfaches kürzt.
(z.B t = 3 [mm] \Rightarrow \bruch{\pi}{6}*3 [/mm] = [mm] \bruch{\pi}{2} \Rightarrow [/mm] Für t = 3 wird deine Funktion = 0)
Grüsse, Amaro
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:45 Mo 22.06.2009 | | Autor: | matherein |
Alles klar,
danke für die erneute Hilfe. Beim ersten Erklären hatte ich es nicht ganz verstanden.
Herzliche Grüße
matherein
|
|
|
| |
|
Tut mir leid. Habe aus Versehen diese schon beantwortete Frage von matherein wieder geöffnet. Das wollte ich nicht, sondern eine eigene Frage zu dieser Aufgabe stellen:
Ich habe diesselbe Aufgabe, nur mit anderen Zahlenwerten, zu rechnen (min. Wasserstand bei Niedrigwasser: 1m; max. Wasserstand bei Hochwasser: 3m)
D.h. die gesuchten Parameter verändern sich entsprechend:
h(t)= [mm] a+b*cos(\bruch{1}{6}\pi*t)
[/mm]
Ich habe mir folgendes überlegt:
a=2
b=-1
Bei b=-1 bin ich mir jedoch nicht ganz sicher, zumal in mathereins Lösungsbuch ja eindeutig eine positive Zahl für b vorgegeben ist.
Ich habe mir jedoch folgendes überlegt: Wir gehen ja von einer Kosinusfunktion aus. Und diese "beginnt" ja (bei x=0) entsprechend mit ihrem maximalen Wert (hier z.B. 3).
In diesem Fall beschreibt doch aber die x-Achse die Zeit t in Stunden nach Niedrigwasser.
Wenn wir also Stunde 0 haben, kann doch der Wasserstand nicht maximal sein – es handelt sich ja hier noch um das Niedrigwasser.
Deswegen ist mir nicht klar, weshalb die Lösung b=-1 nicht stimmt. Denn dann würde die Funktion ja "gespiegelt" werden und bei x=0 stünde tatsächlich der minimale Wert (1m).
Versteht man, was ich damit sagen möchte?
Kann mir jemand erklären, wo mein Denkfehler ist?
LG Eli
|
|
|
| |
|
Hallo,
es ist wahrscheinlich ziemlich egal, ob du die positive oder die negative Lösung nimmst. Denn in der Aufgabenstellung steht nicht explizit drin, dass es mit dem Niedrigwasserstand anfangen muss. Aber auch das Gegenteil wird nicht behauptet. Du hast dir wahrscheinlich - im Gegensatz zum Lösungsbuch - zu viel Gedanken gemacht. Wenn ich die Aufgabe korrigieren sollte würde ich vielleicht noch einen Extrapunkt für "Über die Sinnhaftigkeit der Lösung nachgedacht" geben. Falsch ist es in keinem Fall.
Viel Erfolg noch,
Roland.
|
|
|
| |
|
Hallo pi-roland!
Danke für die Hilfe.
Beim genauen Lesen habe ich jetzt noch einen weiteren Unterschied zwischen meiner Aufgabenstellung und der von matherein gefunden: "... lässt sich in Abhängigkeit von der Zeit t (in Std. nach Niedrigwasser ) modellhaft beschreiben" steht bei mir. Bei ihm dagegen: "Zeit t (in Std. nach Hochwasser )".
Dann müssten meine Überelgungen ja tatsächlich stimmen …
Ja, ich hab mir vllt zu viele Gedanken gemacht … 
LG Eli
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:20 Fr 05.02.2010 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
|
|
|
|
![[a]](uploads/forum/00564977/forum-i00564977-n001.png "Dateianhänge"){kind=small}
Datei-Anhang