Höchster Exponent phi(n) < Zahlentheorie < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:17 Sa 28.05.2011 | | Autor: | Arniebo |
| Aufgabe | Sei n,k [mm] \in \IN [/mm] mit [mm] \phi(n)=k. [/mm] Sei [mm] k=\produkt_{j=1}^{s}q_{j}^{d_{j}} [/mm] die kanonische Primfaktorzerlegung von k.
1. Zeigen Sie: Für gerades n gilt n [mm] \ge [/mm] 2k.
2. Sei p eine Primzahl mit p|n. Zeigen Sie, dass p [mm] \le [/mm] k+1 gilt.
3. Sei p eine Primzahl und e [mm] \in \IN [/mm] mit [mm] p^{e} [/mm] | n. Zeigen Sie, dass e [mm] \le max(d_{j} [/mm] |1 [mm] \le [/mm] j [mm] \le [/mm] s) +1 gilt. |
Hallo,
die erste Teilaufgabe habe ich soweit hinbekommen, die zweite habe ich versucht, indem ich das ganze für [mm] \phi(p)=p-1 [/mm] mit [mm] \phi(n)=k [/mm] nach [mm] \phi(p)-1=p [/mm] umgeformt habe, aber bei der dritten habe ich keine weitere Idee mehr. Bislang habe ich es über [mm] \phi(p^{r})=p^{r}(1-\bruch{1}{p}) [/mm] versucht, kam aber auf kein Ergebnis. Ich hoffe, ihr könnt mir einen Hinweis geben, wie man an die Exponenten heran kommt.
Vielen Dank im Voraus,
mit lieben Grüßen,
Melanie
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
|
|
| |
|
Hallo Melanie alias Arniebo, ![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
Vorab: für teilerfremde a,b ist [mm] \Phi(a*b)=\Phi(a)*Phi(b).
[/mm]
Das wirst Du hier nutzen können.
> Sei n,k [mm]\in \IN[/mm] mit [mm]\phi(n)=k.[/mm] Sei
> [mm]k=\produkt_{j=1}^{s}q_{j}^{d_{j}}[/mm] die kanonische
> Primfaktorzerlegung von k.
> 1. Zeigen Sie: Für gerades n gilt n [mm]\ge[/mm] 2k.
> 2. Sei p eine Primzahl mit p|n. Zeigen Sie, dass p [mm]\le[/mm] k+1
> gilt.
> 3. Sei p eine Primzahl und e [mm]\in \IN[/mm] mit [mm]p^{e}[/mm] | n. Zeigen
> Sie, dass e [mm]\le max(d_{j}[/mm] |1 [mm]\le[/mm] j [mm]\le[/mm] s) +1 gilt.
Der dritte Aufgabenteil ist so noch sinnlos. Was ist da wirklich zu zeigen? Die max-Klammer enthält nur ein, wenn auch beliebiges, Element.
> Hallo,
> die erste Teilaufgabe habe ich soweit hinbekommen, die
> zweite habe ich versucht, indem ich das ganze für
> [mm]\phi(p)=p-1[/mm] mit [mm]\phi(n)=k[/mm] nach [mm]\phi(p)-1=p[/mm] umgeformt habe,
Guter Anfang. Allerdings kann n durchaus den Faktor [mm] p^k [/mm] beinhalten, mit [mm] k\in\IN, [/mm] k>1. Dann sieht der Nachweis ein bisschen anders aus.
> aber bei der dritten habe ich keine weitere Idee mehr.
> Bislang habe ich es über [mm]\phi(p^{r})=p^{r}(1-\bruch{1}{p})[/mm]
> versucht, kam aber auf kein Ergebnis. Ich hoffe, ihr könnt
> mir einen Hinweis geben, wie man an die Exponenten heran
> kommt.
Erst wenn die Aufgabenstellung korrekt ist... 
> Vielen Dank im Voraus,
> mit lieben Grüßen,
> Melanie
Grüße
reverend
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:11 Di 31.05.2011 | | Autor: | Arniebo |
Hallo,
die Aufgabenstellung ist so korrekt und es fehlt nichts, die max()-Angabe bezog sich auf alle möglichen Exponenten der Primfaktorzerlegung.
Ich habe es gestern doch noch hinbekommen, vielen Dank aber auf jeden Fall!
Liebe Grüße
|
|
|
|
