Hochpunkt nicht von k abhängig < Ganzrationale Fktn < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Die Funktion fk(x) = 0,0001k*x³ - 0,018k*x² + 0,72k*x beschreibt für k > 0 und x € [0;120] die momentane Änderungsrate der Länge einer Warteschlange am Eingang eines Museums in Personen pro Minute (x in Minuten). Zum Zeitpunkt x=0 (10 Uhr) stehen 100 Personen in der Schlange.
a) Zeigen Sie, dass die x-Koordinate des Hochpunktes und des Tiefpunktes nicht von k abhängt.
b) Zeigen Sie: Die Schlange ist nach 120 Minuten wieder genauso lang wie am Anfang.
c) Berechnen Sie den Zeitpunkt, zu welchem die Schlange am längsten ist.
d) Geben Sie die Funktion an, mit der sich die Länge zum Zeitpunkt x berechnen lässt.
e) Erklären Sie die Bedeutung einer Vergrößerung des Parameters k im Sachzusammenhang.
f) Berechnen Sie, für welchen Wert von k die längste Warteschlange aus genau 500 Personen besteht. |
Was muss ich bei a) machen? Meine Idee war, einfach den Hoch- bzw. Tiefpunkt zu bestimmen... das ging deutlich schief.
b) Da fk(x) die MOMENTANE ÄNDERUNGSRATE angibt, müsste Fk(x) ja die Länge angeben. Demnach einfach: Fk(120) berechnen?
c) fk (x) = 0 ; also quasi Hochpunkt berechnen?
d)/e) Wieder keine Ahnung. :(
f) fk (x) = 500
Leider hab ich irgendwie ein Problem, sobald zwei Parameter in einer Funktion auftauchen. Hat jemand da 'nen Tipp, wie ich mir das vielleicht einfacher machen kann?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:02 Sa 02.03.2013 | | Autor: | notinX |
Hallo,
> Die Funktion fk(x) = 0,0001k*x³ - 0,018k*x² + 0,72k*x
> beschreibt für k > 0 und x € [0;120] die momentane
> Änderungsrate der Länge einer Warteschlange am Eingang
> eines Museums in Personen pro Minute (x in Minuten). Zum
> Zeitpunkt x=0 (10 Uhr) stehen 100 Personen in der
> Schlange.
>
> a) Zeigen Sie, dass die x-Koordinate des Hochpunktes und
> des Tiefpunktes nicht von k abhängt.
> b) Zeigen Sie: Die Schlange ist nach 120 Minuten wieder
> genauso lang wie am Anfang.
> c) Berechnen Sie den Zeitpunkt, zu welchem die Schlange am
> längsten ist.
> d) Geben Sie die Funktion an, mit der sich die Länge zum
> Zeitpunkt x berechnen lässt.
> e) Erklären Sie die Bedeutung einer Vergrößerung des
> Parameters k im Sachzusammenhang.
> f) Berechnen Sie, für welchen Wert von k die längste
> Warteschlange aus genau 500 Personen besteht.
> Was muss ich bei a) machen? Meine Idee war, einfach den
> Hoch- bzw. Tiefpunkt zu bestimmen... das ging deutlich
> schief.
berechne doch einfach mal die x-Komponenten der Extremwerte.
>
> b) Da fk(x) die MOMENTANE ÄNDERUNGSRATE angibt, müsste
> Fk(x) ja die Länge angeben. Demnach einfach: Fk(120)
> berechnen?
Die Länge der Schlange zum Zeitpunkt [mm] $t_0$ [/mm] beträgt doch: [mm] $L=100+\int_0^{t_0}f_k(x)\,\mathrm{d}x$. [/mm] Es ist also zu zeigen, dass: [mm] $\int_0^{120}f_k(x)\,\mathrm{d}x=0$ [/mm] gilt.
>
> c) fk (x) = 0 ; also quasi Hochpunkt berechnen?
Ja.
>
> d)/e) Wieder keine Ahnung. :(
d) siehe Antwort b)
e) Überleg mal, was es bedeutet, wenn k größer wird. Als Veranschaulichung kannst Du die Funktion für mehrere Werte von k zeichnen.
>
> f) fk (x) = 500
Hast Du mal überlegt, was das bedeutet? Damit kannst Du den Zeitpunkt berechnen, an dem die Änderungsrate einem Wert von 500 entspricht. Ist es das, was gefragt ist?
>
> Leider hab ich irgendwie ein Problem, sobald zwei Parameter
> in einer Funktion auftauchen. Hat jemand da 'nen Tipp, wie
> ich mir das vielleicht einfacher machen kann?
Ja: 'Ignoriere' den Parameter einfach. Den kannst Du behandeln wie eine ganz gewöhnliche Zahl.
Gruß,
notinX
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Hallo!
Wenn du Probleme mit Parametern hast, rate ich dir, für k erstmal irgendeine Zahl einzusetzen, und dann z.B. die Ableitung zu berechnen. Fasse die Zahl aber nicht mit anderen Zahlen zusammen, also lass 2*5 auch als 2*5 stehen, und nicht als 10.
Und dann rechne nochmal, mit dem Parameter. Der wandert ja jetzt genauso durch die Gleichung, wie die Zahl vorher.
(Also, das solltest du in einer Klausur höchstens auf nem Schmierzettel machen, aber das hilft, das Rechnen mit Parametern zu üben.)
Zu deiner Aufgabe: Zu der Sache mit dem Fixpunkt gibts hier einen recht einfachen Lösungsweg:
Du kannst das k aus der ganzen Funktion ausklammern, sodaß da letztendlich steht:
[mm] f_k(x)=k*f(x)
[/mm]
und weil das k ne Konstante ist, ist die Ableitung k*f'(x) . Das ist =0, wenn f'(x)=0 ist, und das ist unabhängig von k.
Aber alleine zur Übung solltest du einfach versuchen [mm] f_k(x) [/mm] auf normalem Weg abzuleiten.
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