Hochpunkt, Tiefpunkt, Wendepun < Differenzialrechnung < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:15 Sa 09.12.2006 | | Autor: | Hopes |
| Aufgabe | Bestimmen sie die genaue lage der Extrempunkte durch Rechnungen.
a) $f(x)= [mm] x^2 [/mm] + [mm] \bruch{1}{x}$
[/mm]
c) $f(x) = [mm] \wurzel{ x - \bruch{1}{4}x^2}$
[/mm]
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ALso,
ich soll hier jetzt ja die Extrempunkte berechnen, jedoch weiß ich nicht wie. Ich suche den GENAUEN Rechenweg.
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Mein Lehrer hat uns zwar irgendetwas vorgerechnet, aber niemand weiß wirklich genau wie das geht.. wen wir das machen kriegt jeder ein anderes ergebnis raus...
insgesamt sind wir 23Schüler.. die letzte Mathearbeit haben wir schon mit 18 fünfen und sechsen beendet.. ich hoffe das, soetwas nicht noch einmal vor kommt.
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Im großen und ganzen suche ich Rechenwege um Hochpunkte, Tiefpunkte und Wendepunkte zu berechnen.
Solltet ihr aufgaben bzw Beispiele wissen die einfacher zu verstehen sind, könnt ihr mir diese bitte zeigen/schicken...
ich hoffe um hilfe
mit freundlichen Grüßen
Hopes
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Hi,
zu [mm] f(x)=x^{2}+\bruch{1}{x}=x^{2}+x^{-1}
[/mm]
Zuerst bestimmst du die ersten drei ableitungen:
[mm] f'(x)=2x-x^{-2}
[/mm]
[mm] f''(x)=2*x^{-3}+2
[/mm]
[mm] f'''(x)=-6*x^{-4}
[/mm]
Zu den Hoch- und Tiefpunkten:
Dafür brauchst du zuerst die notwendige Bedingung, die ist hierbei f'(x)=0. Das heißt di berechnest die Nullstellen der ersten Ableitung, denn an Extremstellen der Ausgangsfunktion ist die Steigung 0, das heißt die Ausgangsfunktion hat an dieser Stelle eine waagerechte Tangente. Also, Nullstellen der ersten Ableitung:
f'(x)=0
[mm] 2x-x^{-2}=0
[/mm]
[mm] x_{1}=\bruch{1}{2}*\wurzel[3]{4}
[/mm]
Jetzt kannst du dir aussuchen, ob du als notwendige Bedingung den Vorzeichenwechsel bei der ersten Ableitung benutzen willst. Oder ob du das Ergebnis in die zweite Ableitung einsetzt und gukcst ob sie ungleich 0 ist. Ich mache mal zur Demonstration beides.
Zuerst hinreichende Bedingung Vorzeichenwechsel:
Du suchst dir einen Punkt links und einen Punkt rechts von [mm] x_{1} [/mm] und schaust, ob diese Werte in f'(x) das Vorzeichen wechseln. Also wenn du den ersten Wert einsetzt, ob dann etwas positives herauskommt und beim zweiten Wert dann z.B was negatives. Dies wäre dann ein VZW von + nach - und das ganze wäre dann ein lokales Maximum. Wenn das Vorzeichen von - nach + wechselt handelt es sich um ein lokales Minimum.
Also:
[mm] x_{1}\approx0,794
[/mm]
Jetzt kannst du dir als ersten Punkt links davon z.B 0,5 nehmen und rechts davon nimmst du 1. Jetzt in f'(x) einsetzen:
[mm] f'(0)=2*0,5-0,5^{-2}=-3
[/mm]
[mm] f'(1)=2*1-1^{-2}=1
[/mm]
Die heißt, dass ein VZW von - nach + vorliegt, also handelt es sich um ein lokales Minimum.
Wenn du als hinreichende Bedingung die zweite Ableitung verwendest, dann geht das wie folgt:
[mm] f''(x_{1})=2*(\bruch{1}{2}*\wurzel[3]{4})^{-3}+2=6
[/mm]
6>0, also ist es ein lokales Minimum.
Y-Werte schaffst du selber denk ich.
Wendepunkte gehen wie folgt:
Als notwendige Bedingung muss f''(x)=0 sein, also:
[mm] 2*x^{-3}+2=0
[/mm]
x=-1
x=-1 ist also ein Kandidat für eine Wendestelle. Also hinreichende Bedingung kannst du wieder einen Vorzeichenwechsel bei f''(x) nehmen. Oder [mm] f'''(x)\not=0. [/mm] Ich nehme letzteres.
[mm] f'''(-1)=-6*(-1)^{-4}=6\not=0 [/mm] also ist x=-1 eine Wendestelle.
Bei Fragen melde dich bitte.
Bis denn
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