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Hallöchen,
ich habe ein Problem mit einem Beweis aus der Vorlesung ersteinmal vorne weg die Definition um die es geht.
Die Lösung r mod [mm] p^{m} [/mm] kann hochgehoben werden zu einer Lösung s mod [mm] p^{m+1}, [/mm] wenn f(s) [mm] \equiv [/mm] 0 mod [mm] p^{m+1} [/mm] und [mm] \phi_{m}(s)=r.
[/mm]
nun zum Satz: Wenn f'(r) nicht [mm] \equiv [/mm] (weiß nicht wie man das Zeichen negiert hier im Formeleditor) mod p, dann kann r hochgehoben werden.
Beweis:
Schreibe die Taylorentwicklung f(x+h)=f(x)+f'(x)h+...+ [mm] \bruch{f^{(n)}(x)}{n!} h^{n}.
[/mm]
Setzt nun x=r und [mm] h=q^{r} [/mm] mit q [mm] \in \IZ.
[/mm]
[mm] \Rightarrow f(r+qp^{m})\equiv [/mm] f(r) [mm] +f'(r)qp^{m} [/mm] mod [mm] p^{m+1}.
[/mm]
wie kommt man auf diese darstellung und wo kommt das p mit mal her?
Haben f(r)=k [mm] p^{m} [/mm] mit k [mm] \in \IZ.
[/mm]
Wieso haben wir das denn woher denn?
[mm] \Rightarrow f(r)+f'(r)qp^{m}=(k+f'(r)g)p^{m}.
[/mm]
Wähle nun q, sodass: f'(r)q+k=0 mod p, dass ist möglich wegen f'(r) nicht [mm] \equiv [/mm] 0 mod p.
Wieso ist das deswegen möglich? Das verstehe ich leider nicht ganz.
Setzt [mm] s=r+qp^{m}
[/mm]
So und wieso folgt hieraus das gewünschte? Ich habe irgendwie das Gefühl da fehlt noch was damit ich das folgern kann.
Ich hoffe mir mag jemand erklären, wie das alles funktioniert denn ich verstehe diesen Beweis wirklich kaum. ich bin über jede Hilfe dankbar.
LG Schmetterfee
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:43 Sa 26.11.2011 | | Autor: | felixf |
Moin!
> ich habe ein Problem mit einem Beweis aus der Vorlesung
> ersteinmal vorne weg die Definition um die es geht.
>
> Die Lösung r mod [mm]p^{m}[/mm] kann hochgehoben werden zu einer
> Lösung s mod [mm]p^{m+1},[/mm] wenn f(s) [mm]\equiv[/mm] 0 mod [mm]p^{m+1}[/mm] und
> [mm]\phi_{m}(s)=r.[/mm]
Und [mm] $\phi_m [/mm] : [mm] \IZ/p^{m+1}\IZ \to \IZ/p^m\IZ$ [/mm] ist die Reduktion modulo [mm] $p^m$?
[/mm]
> nun zum Satz: Wenn f'(r) nicht [mm]\equiv[/mm] (weiß nicht wie man
> das Zeichen negiert hier im Formeleditor) mod p, dann kann
> r hochgehoben werden.
Einfach \not\equiv, das ergibt [mm] $\not\equiv$.
[/mm]
> Beweis:
> Schreibe die Taylorentwicklung f(x+h)=f(x)+f'(x)h+...+
> [mm]\bruch{f^{(n)}(x)}{n!} h^{n}.[/mm]
Ich hoffe, hier ist die Taylorentwicklung in [mm] $\IZ[x]$ [/mm] gemeint...
> Setzt nun x=r und [mm]h=q^{r}[/mm]
> mit q [mm]\in \IZ.[/mm]
Das glaube ich nicht.
In der naechsten Zeile ist $h = q [mm] p^m$. [/mm] Das ist nicht [mm] $q^r$.
[/mm]
> [mm]\Rightarrow f(r+qp^{m})\equiv[/mm] f(r)
> [mm]+f'(r)qp^{m}[/mm] mod [mm]p^{m+1}.[/mm]
> wie kommt man auf diese darstellung und wo kommt das p mit
> mal her?
Nach Taylor ist $f(r + q [mm] p^m) [/mm] = f(r) + f'(r) q [mm] p^m [/mm] + [mm] \frac{f''(r)}{2} q^2 p^{2m} [/mm] + [mm] \frac{f'''(r)}{6} q^3 p^{3 m} [/mm] + ...$. Weiter hinten kommen immer hoehere Potenzen von $p$ vor.
Da du das ganze modulo [mm] $p^{m+1}$ [/mm] anschaust, gilt [mm] $p^{2m} \equiv [/mm] 0$, [mm] $p^{3 m} \equiv [/mm] 0$, und ebenso jede noch hoehere Potenz. Damit bleibt uebrig $f(r + q [mm] p^m) \equiv [/mm] f(r) + f'(r) q [mm] p^m \pmod{p^{m+1}}$.
[/mm]
> Haben f(r)=k [mm]p^{m}[/mm] mit k [mm]\in \IZ.[/mm]
> Wieso haben wir das
> denn woher denn?
Es gilt $f(r) [mm] \equiv [/mm] 0 [mm] \pmod{p^m}$ [/mm] nach Voraussetzung. Damit ist [mm] $p^m$ [/mm] ein Teiler von $f(r) - 0 = f(r)$, womit $f(r) = k [mm] \cdot p^m$ [/mm] ist fuer ein passendes $k [mm] \in \IZ$.
[/mm]
> [mm]\Rightarrow f(r)+f'(r)qp^{m}=(k+f'(r)g)p^{m}.[/mm]
> Wähle nun
> q, sodass: f'(r)q+k=0 mod p, dass ist möglich wegen f'(r)
> nicht [mm]\equiv[/mm] 0 mod p.
> Wieso ist das deswegen möglich? Das verstehe ich leider
> nicht ganz.
Du hast eine Gleichung der Art $a x [mm] \equiv [/mm] b [mm] \pmod{p}$. [/mm] Diese hat immer eine Loesung $x$, falls $p [mm] \nmid [/mm] a$ gilt. Das ist dir doch bekannt, oder?
Hier ist $a = f'(r)$, $x = q$, $b = -k$. Du kannst also immer so eni $q$ finden, falls $p [mm] \nmid [/mm] f'(r)$, was gerade $f'(r) [mm] \not\equiv [/mm] 0 [mm] \pmod{p}$ [/mm] bedeutet. Und das hattest du eben vorausgesetzt.
> Setzt [mm]s=r+qp^{m}[/mm]
> So und wieso folgt hieraus das gewünschte? Ich habe
> irgendwie das Gefühl da fehlt noch was damit ich das
> folgern kann.
Es gilt doch $f(s) = f(r + q [mm] p^m) \equiv [/mm] f(r) + f'(r) q [mm] p^m \equiv [/mm] k [mm] p^m [/mm] + f'(r) q [mm] p^m [/mm] = (f'(r) q + k) [mm] p^m \pmod{p^{m+1}}$. [/mm] Jetzt ist $f'(r) q + k$ durch $p$ teilbar, womit $(f'(r) q + k) [mm] p^m$ [/mm] durch [mm] $p^{m+1}$ [/mm] teilbar ist, womit $f(s) [mm] \equiv [/mm] (f'(r) q + k) [mm] p^m \equiv [/mm] 0 [mm] \pmod{p^{m+1}}$ [/mm] ist.
LG Felix
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