Hoch- und Tiefpunkte bestimmen < Differenzialrechnung < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:16 Di 22.05.2007 | | Autor: | Syreah |
| Aufgabe | Bestimme die Hoch- und Tiefpunkte der Funktion f. Skizziere den Graphen von f.
a) f(x) = [mm] \bruch{1}{3}x^{3} [/mm] + x
b) f(x) = [mm] x^{4} [/mm] - [mm] \bruch{1}{2}x [/mm] |
Hallo!
Ich muss diese beiden Aufgaben (oben) lösen, was eventuell noch nicht sooo das Problem darstellt. Allerdings müsste ich es morgen in vor dem Kurs vorstellen können, und davor graust es mir. Bin jemand, der lernt das auswendig und wendet es an , punkt. Aber dahinter kommen tut man halt nicht so.
Also erstmal zur Lösung der Aufgaben. Ich weiß auch da nicht so weiter. Ich habe zwar schon mein Mathebuch durchgeblättert, aber ich finde nirgends eine gute Seite, wie man schaut, wo Hoch bzw. Tiefpunkte vorliegen.
Was ich machen würde ist z.B. bei a)
f(x) = [mm] \bruch{1}{3}x^{3} [/mm] + x
f(x) = x²
Also die Ableitung genommen. und im Buch steht "für mögliche Extremstellen [mm] x_{e} [/mm] gilt [mm] f'(x_{e}) [/mm] = 0"
Also müsste dann ja x² = 0
Aber was soll ich dann machen?
Und ist der Weg überhaupt richtig?
Eventuell kann mir das jemand ja mal (ausführlich) und verständnlich erklären, dankeschön! :)
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Hallo,
du hast bei der Ableitung der 1. Funktion die Ableitung von x vergessen, die ist 1
a)
[mm] f(x)=\bruch{1}{3}x^{3}+x
[/mm]
[mm] f'(x)=x^{2}+1
[/mm]
[mm] 0=x^{2}+1
[/mm]
überprüfe, ob diese Gleichung eine Lösung hat!
Steffi
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:47 Di 22.05.2007 | | Autor: | Syreah |
Wie überprüfe ich das? Indem ich eine beliebige Zahl für x nehme?
Und wieso gilt [mm] x_{e} [/mm] = 0 um die Extremstellen zu berechnen?
Da steht ja, ich solle die Hoch- und Tiefpunkte berechnen. Müsste bei Tiefpunkten dann eine neg. und bei Hochpunkten eine pos. Zahl rauskommen?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:53 Di 22.05.2007 | | Autor: | Kroni |
Hi,
du bekommst potentielle Hoch-/Tiefpunkt dadurch heraus, indem du die erste Ableitung bildest, und diese Nullsetzt (denn überall, wo die erste Ableitung Null ist, hat der Graph von f eine waagerechte Tangente).
Sprich: Nullstellen berechnen der 1. Ableitung.
Dann musst du noch überprüfen, ob es sich hier tatsächlich um einen Hoch oder Tiefpunkt handelt oder um einen sog. Sattelpunkt.
Das kannst du mit Hilfe der zweiten Ableitung machen (ist diese an der Stelle, für die die erste Ableitung Null ist positiv, so handelt es sich hier um einen Tiefpunkt, ist sie negativ, so handelt es sich hier um einen Hochpunkt, ist sie Null, so hast du noch keine Aussage über die Stelle).
Alternativ kannst du das Vorzeichenwechselkriterium benutzen:
Ändert sich das Vorzeichen der ersten Ableitung von - nach + (also ist f'(x) links von der möglichen Extremstelle negativ, und rechts davon positiv), so liegt ein Tiefpunkt vor, ändert sich das Vorzeichen von + nach -, so liegt ein Hochpunkt vor.
Was du jetzt bei deiner Aufgabe a) machen musst:
[mm] f'(x)=x^2+1
[/mm]
Berechne f'(x)=0!
Das kannst du einmal machen, indem du das mathematisch machst, und zu einem Ergebnis kommst, oder stelle dir mal die Normalparabel um eine Einheit nach oben verschoeben vor, und sage mir, wie viele Nullstellen diese hat.
LG
Kroni
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:49 Di 22.05.2007 | | Autor: | Syreah |
d.h. ich nehme jetzt von 0 = x² + 1 die Nullstellen. Also z.B. mit der pq-Formel... und was bringen mir die Nullstellen dann?
Wenn ich jetzt von x² + 1 die Ableitung nehme, habe ich ja f''(x) = 2x .. weiß iuch jetzt, dass die Parabel einen Hochpunkt hat? .. bin gerade etwas verwirrt.
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Hallo,
[mm] 0=x^{2}+1 [/mm] schau dir diese Gleichung mal genau an, du erhälst [mm] -1=x^{2}, [/mm] kann denn das Quadrat einer reellen Zahl negativ sein?
NEIN, somit hat die 1. Ableitung keine Nullstelle, somit hat deine Funktion kein Extrempunkt,
Natürlich hast du Recht, die p-q-Formel zu nutzen p=0, q=1, somit entsteht [mm] x_1_2=0\pm\wurzel{-1}, [/mm] es gibt keine Lösung, hatten wir ja gerade festgestellt,
Vorschlag: zeichne deine Funktionen immer zuerst, du siehst daran sehr viel,
Steffi
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:16 Di 22.05.2007 | | Autor: | Kroni |
> Hallo,
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> [mm]0=x^{2}+1[/mm] schau dir diese Gleichung mal genau an, du
> erhälst [mm]-1=x^{2},[/mm] kann denn das Quadrat einer reellen Zahl
> negativ sein?
> NEIN, somit hat die 1. Ableitung keine Nullstelle, somit
> hat deine Funktion kein Extrempunkt,
>
> Natürlich hast du Recht, die p-q-Formel zu nutzen p=0, q=1,
> somit entsteht [mm]x_1_2=0\pm\wurzel{-1},[/mm] es gibt keine Lösung,
> hatten wir ja gerade festgestellt,
>
> Vorschlag: zeichne deine Funktionen immer zuerst, du siehst
> daran sehr viel,
>
Aber ob die betreffende Person auch immer einen Plotter bei z.B. einer Klausur dabei hat?
Meine Meinung: Erst rechnen, dann zeichnen, u.a. mit Hilfe einer Wertetabelle und damit die Ergebnisse kontrollieren...
LG
Kroni
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:28 Di 22.05.2007 | | Autor: | Syreah |
Ihr erklärt es keineswegs unverständlich, aber ich komme nicht mehr mit ... Was aber nicht an euch liegt!
Mal für so "Mathelooser" wie mich.
Ich habe eine Gleichung und will wissen, OB und WO diese Kurve Hoch-bzw. Tiefpunkte hat. richtig?
Dann nehme ich die Gleichung und nehme die erste Ableitung. die erste Ableitung setze ich gleich null, damit ich rausfinden kann, ob diese Kurve überhaupt Hoch- bzw. Tiefpunkte hat. Kommt dort also eine negative Zahl raus, hat diese Kurve keine Hoch und TIefpunkte? Dann müsste sie ja konstant sein?
Und was ist, wenn ich dort eine positive Zahl raus hältte, dann die Wurzel nehme (z.B. bei a) jetzt) und dann eine Zahl dort raus habe? Was ist dann mit der Zahl? *g*
Irgendwie... werden mir die Schritte in keinster Weise klar.
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Hallo,
ich wähle das Beispiel
[mm] f(x)=x^{2}+2x-4
[/mm]
[Dateianhang nicht öffentlich]
erste Ableitung bilden
f'(x)=2x+2
diese Null setzen
0=2x+2
x=-1
das bedeutet an der Stelle x=-1 gibt es ein Extrempunkt, das kann Maximum oder Minimum sein
zweite Ableitung bilden
f''(x)=2>0 also ist es ein Minimum
wäre f''(x)<0, wäre es ein Maximum
steht in der zweiten Ableitung noch ein x, so mußt du die Stelle, an der du ein Extrempunkt hast, einsetzen,
Steffi
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: gif) [nicht öffentlich]
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