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Hintereinanderausführung: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 23:11 Mo 08.03.2010
Autor: s-jojo

Aufgabe
f: [mm] A\to [/mm] B, g: [mm] B\to [/mm] C, h: [mm] C\to [/mm] D Abbildungen, dann gilt:
sind f und g bijektiv, so ist auch [mm] (g\circ [/mm] f) bijetiv und es gilt [mm] (g\circ [/mm] f)^-1 = f^-1 [mm] \circ [/mm] g^-1.

Hi :)
Das war jetzt gerade ein Satz aus einem Buch, ich versteh sie an sich, aber der folgende Beweis ist für mich unverständlich.

Beweis:
(f [mm] \circ [/mm] g)^-1 [mm] \circ [/mm] (f [mm] \circ [/mm] g) = Id [mm] \gdw (f\circ [/mm] g) ^-1 [mm] \circ [/mm] f [mm] \circ [/mm] g= Id
[mm] \gdw [/mm] (f [mm] \circ [/mm] g) ^-1 [mm] \circ [/mm] f = g^-1
[mm] \gdw [/mm] (f [mm] \circ [/mm] g) ^-1 = g^-1 [mm] \circ [/mm] f^-1

Meine Frage:

Ich soll bei (f [mm] \circ [/mm] g)^-1 zuerst g mit f verknüpfen, richtig? Aber wie soll das gehen, weil g geht von B nach C, f jedoch von A nach B! Selbst wenn ich sofort die Umkehrfunktion machen würde, hätte ich das gleiche Problem bei (f [mm] \circ [/mm] g)...
Vor allem versteh ich nicht, dass im Beweis etwas anderes steht als bei dem Satz, also die Reihenfolge ist ja ganz vertauscht. Beim Satz steht (g [mm] \circ [/mm] f)^-1, beim Beweis andersrum...

Hmm... kann mir jemand helfen? =)

(Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt. ^^)

        
Bezug
Hintereinanderausführung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 23:18 Mo 08.03.2010
Autor: steppenhahn

Hallo!

> f: [mm]A\to[/mm] B, g: [mm]B\to[/mm] C, h: [mm]C\to[/mm] D Abbildungen, dann gilt:
>  sind f und g bijektiv, so ist auch [mm](g\circ[/mm] f) bijetiv und
> es gilt [mm](g\circ[/mm] f)^-1 = f^-1 [mm]\circ[/mm] g^-1.
>  Hi :)
>  Das war jetzt gerade ein Satz aus einem Buch, ich versteh
> sie an sich, aber der folgende Beweis ist für mich
> unverständlich.
>
> Beweis:
>  (f [mm]\circ[/mm] g)^-1 [mm]\circ[/mm] (f [mm]\circ[/mm] g) = Id [mm]\gdw (f\circ[/mm] g) ^-1
> [mm]\circ[/mm] f [mm]\circ[/mm] g= Id
>  [mm]\gdw[/mm] (f [mm]\circ[/mm] g) ^-1 [mm]\circ[/mm] f = g^-1
>  [mm]\gdw[/mm] (f [mm]\circ[/mm] g) ^-1 = g^-1 [mm]\circ[/mm] f^-1
>  
> Meine Frage:
>  
> Ich soll bei (f [mm]\circ[/mm] g)^-1 zuerst g mit f verknüpfen,
> richtig? Aber wie soll das gehen, weil g geht von B nach C,
> f jedoch von A nach B! Selbst wenn ich sofort die
> Umkehrfunktion machen würde, hätte ich das gleiche
> Problem bei (f [mm]\circ[/mm] g)...
>  Vor allem versteh ich nicht, dass im Beweis etwas anderes
> steht als bei dem Satz, also die Reihenfolge ist ja ganz
> vertauscht. Beim Satz steht (g [mm]\circ[/mm] f)^-1, beim Beweis
> andersrum...

Das lässt sich einfach beantworten:
Du hast recht, und im Buch wurde geschludert.
Bei einem korrekten Beweis müsste es vertauscht sein und mit der Aussage

[mm] $(g\circ f)^{-1}\circ (g\circ [/mm] f) = id$

beginnen.

Grüße,
Stefan

Bezug
                
Bezug
Hintereinanderausführung: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 23:04 Mo 15.03.2010
Autor: s-jojo

Da bin ich ja erleichtert :D ich dachte schon ich hätte überhaupt nichts kapiert ^^ thx

Bezug
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