Hinreichende Bedingung gesucht < Funktionalanalysis < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) für Interessierte  | | Datum: | 17:32 Do 04.11.2010 | | Autor: | dazivo |
Hallo zusammen
Ich habe folgendes Problem:
Ich habe eine Folge von Zufallsvariablen, die in Verteilung gegen eine Zufallsvariable konvergiert.
Ich will aber, dass die Folge oder eine Teilfolge davon gegen diese Zufallsvariable in Wahrscheinlichkeit konvergiert.
Im Allgemeinen ist dieser Wunsch aber zu gross!
Frage: Welche zusätzliche Bedingung sollte meine Folge noch erfüllen, damit das Obige funktioniert?
PS: Mir ist klar, dass wenn die Grenz Zufallsvariable eine Konstante ist, dann gilt : conv. in Verteilung impliziert conv. in Wahrscheinlichkeit.
Ich will also, dass meine Grenz Zufallsvariable "beliebig" sein kann.
Ich bin für alle Vorschläge offen.
Danke
Gruss dazivo
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Huhu,
also ich hab jetzt mal in meinem Kopf, meinem stochastik Skript, verschiedener Literatur etc gekramt und festgestellt...... du hast wohl Pech gehabt.
Schwächer als "Zielfunktion fast sicher konstant und die [mm] X_n [/mm] leben auf dem gleichen W-Raum wie X" wird wohl nicht funktionieren.
Ich lass die Frage aber mal für interessierte offen........
MFG,
Gono.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:22 Fr 05.11.2010 | | Autor: | dazivo |
hallo
Das Ursprüngliche Ziel war es ein Kompaktheitskriterium in [mm] L^0 [/mm] (Alle Zufallsvariablen auf einem W'Raum mit der Topologie "Konvergenz in W'keit") zu finden. Man muss ja "lediglich" die Totalbeschränktheit in einem
gewissen Masse so umformulieren, dass es handhabbar wird (Konkret: ist (X,d) ein metrischer Raum, so ist eine Teilmenge K genau dann kompakt, wenn sie vollständig und totalbeschränkt ist). Ich bin so vorgegangen:
- hab's gegooglt--> nicht gefunden
- Selbstversuch:
Nach einem Tipp von einem Kollegen hier im Forum wollte ich irgendwie den Satz von Prohorov anwenden.
Eine Kompakte Menge ist sicher beschränkt. Und in dieser Topologie bedeuted das, dass
[mm] $\lim_{M \to \infty} \sup_{X \in K} [/mm] P [|X| > M] = 0$.
Dies ist impliziert die Straffheit der Bildmasse [mm] $Q^X [\cdot] [/mm] := P[X [mm] \in \cdot], [/mm] X [mm] \in [/mm] K$ (desshalb Prohorov). Ich wähle mir jetzt eine Folge [mm] $(X_n)_n \subseteq [/mm] K$. Prohorov sagt mir dann, dass es ein W'Mass gibt $Q$ und eine Teilfolge (benennen wir sie wieder mit [mm] $(X_n)_n$) [/mm] sodass
[mm] $Q^{X_n} \Longrightarrow [/mm] Q$ für $n [mm] \to \infty$. [/mm] Selbstverständlich existiert ein $X$ mit $Q = [mm] Q^X$ [/mm] (man nimmt einfach die Quantilfunktion [mm] $F^{\leftarrow}$ [/mm] der Verteilungfkt von $Q$ und setzt $X:= [mm] F^{\leftarrow}(U)$, [/mm] wobei $U$ eine Uniform[0,1]-Verteilte ZV ist). Ich glaube ab hier ist jetzt klar warum ich die hinreichende Bedingung gesucht habe. Denn wenn ich nun diese Bedingung hätte, würde abgeschlossenheit, Beschränktheit und eben diese Bedingung die Folgen- also auch Kompaktheit implizieren.
Zum glück habe ich es nochmal mit googlen versucht und ein positives Resultat gefunden, nämlich in (der Funktionalanalysis Bilbel) Dunford-Schwartz Linear Operators Theorem IV. 11.1 oder ähnlich, aber auf jeden Fall im Kapitel "Special Spaces").
Ich danke euch vielmals für die Bemerkungen
Viele Grüsse
dazivo
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