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| Aufgabe | Bestimmen sie die Konvexität für folgende Kostenfunktionen:
1.) || A*x - [mm] b||^2;
[/mm]
2.) || A*(a1 o x1 + a2 o x2) [mm] -b||^2;
[/mm]
Hierbei ist A eine Matrix (R^(mxn)),
x, a1, a2, x1, x2 sind Vektoren [mm] (R^n)
[/mm]
o bezeichnet das Hadamart Produkt zweier Vektoren (elementweise Multiplikation)
[mm] ||.||^2 [/mm] bezeichnet die l2-Norm |
!!!Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt!!!
Hallo,
wie kann ich zeigen, welche Konvexität die Kostenfunktion 2) hat?
Es handelt sich nicht um eine konkrete Aufgabe für die Uni, vielmehr um mein persönliches Interesse. Ich möchte diese Kostenfunktionen numerisch minimieren, nur leider weiß ich nicht ob 2) konvex ist. Bei 1) weiß ich das!
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:42 Do 07.11.2013 | | Autor: | meili |
Hallo,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
> Bestimmen sie die Konvexität für folgende
> Kostenfunktionen:
> 1.) || A*x - [mm]b||^2;[/mm]
> 2.) || A*(a1 o x1 + a2 o x2) [mm]-b||^2;[/mm]
>
> Hierbei ist A eine Matrix (R^(mxn)),
> x, a1, a2, x1, x2 sind Vektoren [mm](R^n)[/mm]
> o bezeichnet das Hadamart Produkt zweier Vektoren
> (elementweise Multiplikation)
> [mm]||.||^2[/mm] bezeichnet die l2-Norm
> !!!Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt!!!
>
> Hallo,
>
> wie kann ich zeigen, welche Konvexität die Kostenfunktion
> 2) hat?
> Es handelt sich nicht um eine konkrete Aufgabe für die
> Uni, vielmehr um mein persönliches Interesse. Ich möchte
> diese Kostenfunktionen numerisch minimieren, nur leider
> weiß ich nicht ob 2) konvex ist. Bei 1) weiß ich das!
a1 [mm] $\circ$ [/mm] x1 + a2 [mm] $\circ$ [/mm] x2 ist doch auch nichts anderes als ein Vektor wie x.
Also wenn $ [mm] ||Ax-b||^2$ [/mm] konvex ist, dann ist auch $||A(a1 [mm] \circ [/mm] x1 + a2 [mm] \circ x2)-b||^2$ [/mm] konvex.
Oder hast du für den Nachweis der Konvexität bei 1.) irgendwelche
Eigenschaften von x gebraucht?
Gruß
meili
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Hallo und vielen Dank für die Antwort  ,
ich würde die obige Frage gerne erweitern: ich weiß nun, dass obige Kostenfunktion konvex ist, aber unterbestimmt. Somit habe ich unendlich viele Lösungen die das Problem mit dem selben Kostenwert lösen. Was passiert nun, wenn ich an obige Kostenfunktion noch zwei strickt konvexe Kostenfunktionen addiere, wie zum
Cost + F(x1) + F(x2)
die nur jeweils auf unterräumen x1 und x2 des Gesamtlösungsraumes (x1,x2) wirken. Würde nun ein globales Minimum existieren und wenn ja könnte man es numerisch mit einem Gradientenabstiegsverahren finden?
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:20 Sa 16.11.2013 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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