Hilfe bei Streckfaktorberechnung benötigt! < Klassen 8-10 < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:04 So 27.06.2004 | | Autor: | Bina02 |
Ich habe diese Frage auch in folgenden fremden Foren gestellt:
http://www.chemieonline.de/forum/archive/index.php/f-21
Salut ihr Lieben! :)
Also ich bin ein Neuling hier, deshalb ersteinmal ein " Hallo" an alle eifrigen Mathegenies dieser Seite. Ich habe zur Zeit ein Problem mit einer Aufgabe meines Mathelehrgangs (Fernakademie), an der ich mir echt die Zähne ausbeiße. Ohne Ansatz ist es ja auch bekanntlich schwer eine Aufgabe zu lösen, obwohl mein Block schon vor Skizzen überquillt ;) Die Frage lautet dabei wie folgt : "Welche Streckung (O;k) führt ein einem Kreis einbeschriebenes gleichseitiges Dreieck ABC in ein unbeschriebenes Dreieck A´B´C´ dieses Kreises über? Berechnen sie den Streckfaktor." Die richtige Deutung der Frage würd mich glaub ich auch schonmal weiter bringen. Bei Mathe liegt mir mehr Algebra und Funktionen, aber Geometrie will ich natürlich auch verstehen. Mir hat zwar jemand mal eine Lösung zu der Aufgabe gezeigt, aber die konnte ich nicht nachvollziehen und einfach Abschreiben bringt mir nichts. In der Prüfung will ich es ja schließlich auch können. Immerhin hab ich mittlerweile Richtung Beweisführung gut geübt ;) Sorry, ich schweife etwas ab. Will aber noch unbedingt sagen,dass ich es total klasse und bewundernswert finde, das sich Leute Zeit nehmen um in Foren &Co. Hilfestellungen geben. Gerade in Mathe , ein großes "Respekt" von mir! Also es wäre total lieb wenn mir jemand bei der Aufgabe weiter helfen könnte. Vielen Dank schon einmal im voraus! :)
Lg, Sabrina :)
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 01:13 Mo 28.06.2004 | | Autor: | Marc |
Hallo Bina02!
Es heißt also "umbeschrieben".
Gegeben ist ein Kreis (mit Radius r), in diesem ist ein gleichseitiges Dreieck ABC einbeschrieben (der Kreis ist also der Umkreis des Dreiecks ABC).
Das Dreieck A'B'C', das durch zentrische Streckung ermittelt werden soll, hat denselben Kreis als Inkreis.
Zunächst einmal solltest du dir überlegen, dass es überhaupt eine solche zentrische Streckung gibt. Das könntest du zum Beispiel so machen: Das Dreieck A'B'C' müßte auf jeden Fall ebenfalls ein gleichseitiges Dreieck sein, da zentrische Streckungen winkeltreu sind. Nun gibt es aber zu jedem Kreis eine gleichseitiges Dreieck, dass diesen Kreis als Inkreis besitzt, also gibt es auch die geforderte zentrische Streckung.
Das Streckzentrum O ist offenbar der Mittelpunkt des Kreises.
Zur Ermittlung des Streckfaktors k konzentriere ich mich auf eine bestimmte Strecke des inneren Dreiecks und schaue mir an, auf welche Strecke des äußeren Dreiecks diese durch die zentrische Streckung abgebildet. Du einen Vergleich der Längen erhalte ich so den Streckfaktor: $k = [mm] \bruch{\mbox{\scriptsize Länge der Bildstrecke}}{\mbox{\scriptsize ursprüngliche Länge}}$
[/mm]
Diese Strecke, auf die ich mich fokussiere, ist eine Seitenhalbierende des inneren Dreiecks. Durch die Gleichseitigkeit der Dreiecke fallen folgende Transversalen zusammen: Höhe = Winkelhalbierende = Seitenhalbierende = Mittelsenkrechte.
Nun ist der Umkreismittelpunkt eines Dreiecks der Schnittpunkt der Mittelsenkrechten, und der Inkreismittelpunkt der Schnittpunkt der Winkelhalbierenden.
Von den Seitenhalbierenden wissen wir auch noch, dass sie sich im Verhältnis 2:1 schneiden.
Jetzt wird alles ganz einfach.
Konzentriere dich auf das innere Dreieck, und darin auf eine Seitenhalbierende s und den Mittelpunkt des Kreises, der zugleich Schnittpunkt der Seitenhalbierenden ist.
Siehst du, dass der Radius r eine Teilstrecke ist, gebildet durch den Mittelpunkt?
Die andere Teilstrecke ist dann s-r lang.
Da der Seitenhalbierendenschnittpunkt jede Seitenhalbierende im Verhältnis 2:1 schneidet, gilt hier also:
[mm] $\bruch{r}{s-r}=\bruch{2}{1}$
[/mm]
[mm] $\gdw\ [/mm] r=2*(s-r)$
[mm] $\gdw\ [/mm] r=2s-2r$
[mm] $\gdw\ [/mm] 3r=2s$
[mm] $\gdw\ s=\bruch{3}{2}r$
[/mm]
Jetzt wissen wir also schon, wie lang eine Seitenhalbierende des inneren Dreieck ist.
Nun konzentrieren wir uns auf das äußere Dreieck und die entsprechende Seitenhalbierende.
Dort ist ebenfalls der Radius als Teilstrecke zu finden, jetzt allerdings als die kleinere der beiden Teilstrecken. Für die Seitenhalbierende s' gilt also:
[mm] $\bruch{s'-r}{r}=\bruch{2}{1}$
[/mm]
[mm] $\gdw\ [/mm] s'-r=2r$
[mm] $\gdw\ [/mm] s'=3r$
Die Bildstrecke s' ist also 3r lang.
Wie oben erwähnt, gilt nun für den Streckfaktor k:
[mm] $k=\bruch{s'}{s}=\bruch{3r}{\bruch{3}{2}r}=\bruch{3}{1}*\bruch{2}{3}=2$
[/mm]
Falls etwas unklar geblieben sein sollte, frage einfach nach.
Wenn du nett bist, schreibe auch bitte in dem anderen Forum, dass die Frage (hier) beantwortet wurde, sonst macht sich jemand dort dieselben Gedanken wie ich, was dir ja nicht weiter helfen würde.
Viele Grüße,
Marc
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