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| Aufgabe | Gegeben ist f(x)=x²*e^(-x).
Berechnen Sie für a > 0 den Inhalt der Fläche, die der Graph von f mit der x-Achse in den Grenzen 0 und a einschließt. Was ergibt sich für [mm] \limes_{a\rightarrow\infty} [/mm] . |
Wie man die Aufgabe löst ist mir bewusst, bzw. ich habe sie bereits gelöst. Dazu muss man ja nur das Integral von f auf dem Intervall [0, a] berechnen und a dann gegen Unendlich gehen lassen.
Meine Frage liegt eher in der Lösung:
Ich benutze dabei die partielle Integration:
[mm] \integral_{0}^{a}{x²*e^(-x) dx}
[/mm]
Mit u = x², u' = 2x, v' = e^(-x) und v = -e^(-x)
= -x²*e^(-x) - [mm] \integral_{}^{}{2x*(-e^(-x) dx}
[/mm]
= -x²*e^(-x) - 2x*e^(-x) - [mm] \integral_{}^{}{2*e^(-x) dx}
[/mm]
Und nun zu meinem Problem:
Ich weiß, dass die Stammfunktion zu f [mm] -x^2*e^{-x}-2x*e^{-x}-2*e^{-x} [/mm] lautet. Aber [mm] \integral_{}^{}{2*e^(-x) dx} [/mm] ist ja = -2*e^(-x). Würde ich das da so einsetzen, so erhalte ich ja [mm] -x^2*e^{-x}-2x*e^{-x}+2*e^{-x}, [/mm] was ja nicht richtig ist.
Könnt ihr mir vielleicht sagen, wo da bei mir ein Logikfehler liegt, oder ob ich nicht an anderer Stelle einen Fehler dabei gemacht habe?
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Auch dir ein recht freundliches "Hallo"!
> Gegeben ist f(x)=x²*e^(-x).
Exponenten mache besser mit dem Dach ^ links neben der 1, etwa [mm]x^2[/mm] so: x^{2}
> Berechnen Sie für a > 0 den Inhalt der Fläche, die der
> Graph von f mit der x-Achse in den Grenzen 0 und a
> einschließt. Was ergibt sich für
> [mm]\limes_{a\rightarrow\infty}[/mm] .
> Wie man die Aufgabe löst ist mir bewusst, bzw. ich habe
> sie bereits gelöst. Dazu muss man ja nur das Integral von
> f auf dem Intervall [0, a] berechnen und a dann gegen
> Unendlich gehen lassen.
> Meine Frage liegt eher in der Lösung:
>
> Ich benutze dabei die partielle Integration:
gute Idee!
>
> [mm]\integral_{0}^{a}{x²*e^(-x) dx}[/mm]
Hier ist das Quadrat nicht sichtbar ...
> Mit u = x², u' = 2x, v'
> = e^(-x) und v = -e^(-x)
ok!
>
> = -x²*e^(-x) - [mm]\integral_{}^{}{2x*(-e^(-x) dx}[/mm]
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
Bissl unsauber - mal mit Grenzen, mal ohne, aber ok
> =
> -x²*e^(-x) - 2x*e^(-x) - [mm]\integral_{}^{}{2*e^(-x) dx}[/mm]
vor dem Integral sollte doch ein "+" stehen ...
>
> Und nun zu meinem Problem:
> Ich weiß, dass die Stammfunktion zu f
> [mm]-x^2*e^{-x}-2x*e^{-x}-2*e^{-x}[/mm] lautet. Aber
> [mm]\integral_{}^{}{2*e^(-x) dx}[/mm] ist ja = -2*e^(-x). Würde ich
> das da so einsetzen, so erhalte ich ja
> [mm]-x^2*e^{-x}-2x*e^{-x}+2*e^{-x},[/mm] was ja nicht richtig ist.
> Könnt ihr mir vielleicht sagen, wo da bei mir ein
> Logikfehler liegt, oder ob ich nicht an anderer Stelle
> einen Fehler dabei gemacht habe?
Das Vorzeichen vor dem Integral nach der 2. partiellen Integration ist falsch.
Entweder machst du vorher eine dicke Minusklammer oder schreibst
[mm]-x^2e^{-x}-\int{2x(-e^{-x}) \ dx} \ = \ -x^2e^{-x}\red +\int{2xe^{-x} \ dx}[/mm]
und integrierst dann nochmal partiell
>
>
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
Gruß zurück!
schachuzipus
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