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Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
| Aufgabe | Berechnen Sie:
$\int_0^\infty e^{-x}*sin(x) dx $ |
Mein Ansatz ist, partiell zu integrieren.
Ich erhalte damit:
$\int_0^\infty e^{-x}sinxdx = -e^{-x}(sinx-cosx) - \int_0^\infty e^{-x}sinxdx $
Umformen führt mich zu:
$\int_0^\infty e^{-x}sinxdx = [ \frac{-1}{2}*e^{-x}{sinx-cosx]_0^\infty $
Wenn ich statt $infty$ erst einmal bis zur oberen Grenze a integriere erhalte ich:
$ \frac{-1}{2}e^{-a}(sinacosa) + \frac{1}{2}e^{0}(sin0-cos0) $
also:
$ \frac{-1}{2}e^{-a}(sinacosa) - 1/2 $.
Der Ausdruck links des Minus' muss nun noch für a gegen unendlich betrachtet werden. Ich komme dabei auf "0", insgesamt also das Ergebnis "-1/2". Kann das denn stimmen?
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> Berechnen Sie:
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> [mm]\int_0^\infty e^{-x}*sin(x) dx[/mm]
> Mein Ansatz ist, partiell
> zu integrieren.
Gute Idee, funktioniert, nur muss man bei den Vorzeichen höllisch aufpassen!
>
> Ich erhalte damit:
>
> [mm]\int_0^\infty e^{-x}sinxdx = -e^{-x}(sinx[/mm]-[mm]cosx) - \int_0^\infty e^{-x}sinxdx[/mm]
>
Ich glaube, das "-" ist nicht richtig (das führt am Ende zu einem Vorzeichenfehler).
> Umformen führt mich zu:
>
> [mm]\int_0^\infty e^{-x}sinxdx = [ \frac{-1}{2}*e^{-x}{sinx-cosx]_0^\infty[/mm]
Hier fehlt eine Klammer um $sin(x) - cos(x)$ (wobei wie gesagt ein + dort stehen müsste).
>
> Wenn ich statt [mm]infty[/mm] erst einmal bis zur oberen Grenze a
> integriere erhalte ich:
>
> [mm]\frac{-1}{2}e^{-a}(sinacosa) + \frac{1}{2}e^{0}(sin0-cos0)[/mm]
>
Da fehlt vorne ein Rechenzeichen, hinten wieder der eigentliche Fehler.
> also:
> [mm]\frac{-1}{2}e^{-a}(sinacosa) - 1/2 [/mm].
>
> Der Ausdruck links des Minus' muss nun noch für a gegen
> unendlich betrachtet werden. Ich komme dabei auf "0",
> insgesamt also das Ergebnis "-1/2". Kann das denn stimmen?
Der Fehler ist also ein Vorzeichenfehler, ansonsten ist alles okay. Es kommt entsprechend am Ende [mm] $\bruch{1}{2}$ [/mm] heraus.
Tipp: Wenn du den Graphen zeichnen lässt, siehst du sofort, dass der Wert größer als 0 sein muss (oder du denkst kurz über den Verlauf der beiden Teilfunktionen nach).
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Hallo,
entschuldige die schlampige mathematische Formulierung oben. (fehlende Klammern usw.).
Ja, ich sehe den Vorzeichenfehler :) Dankesehr!
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Mir ist da doch noch eine Frage eingefallen! :)
Ich muss korregt begründen, warum dann der erste Summand für "a gegen unendlich" gegen 0 strebt.
Unglücklicherweise weiß ich nicht, wie man das exakt macht.
Schwierigkeiten habe ich bei "(sin(a)*cos(a))".
Wie gehe ich da vor?
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> Mir ist da doch noch eine Frage eingefallen! :)
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> Ich muss korregt begründen, warum dann der erste Summand
> für "a gegen unendlich" gegen 0 strebt.
> Unglücklicherweise weiß ich nicht, wie man das exakt
> macht.
>
> Schwierigkeiten habe ich bei "(sin(a)*cos(a))".
>
> Wie gehe ich da vor?
Ich glaube immer noch, dass da ein "+" zwischen den beiden steht - ist aber für die Argumentation egal.
Die hängt im wesentlichen von den Vorkenntnissen ab, die ihr benutzen könnt. Die grundsätzliche Idee ist, dass der sin/cos-Teil des Terms beschränkt ist, während der exponentielle Anteil gegen 0 konvergiert.
Wie ihr das formal machen müsst, weiß ich nicht - eine Möglichkeit ist die Betrachtung des Betrags, etwa
[mm] $|e^{-x} [/mm] * sin(x)| = [mm] |e^{-x}| [/mm] * |sin(x)| [mm] \le |e^{-x}| \to [/mm] 0$
Das ist nicht vollständig, sollte aber hoffentlich die Idee deutlich machen.
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