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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 23:30 Mo 31.01.2005 | | Autor: | maxic |
Guten Tag,ich habe ein problem beim Lösen einer aufgabe:
Die Funktion f sei auf ganz R definiert und periodisch mit T=2pi
Im Intervall -pi<=x<=pi sei sie definiert durch f(x)=sin(x/4)
a) entwickle f in eine Fourierreihe.
TIP: untersuche, ob sinx/4 gerade oder ungerade ist und benutze gegebenfalls die vereinfachungen, die sich daraus für die rechnung ergben. Hinweis: es gibt formeln die ein produkt trigonometrischer funktionen (zB sina*cosb) umwandeln in eine summe trigonometrischer funktionen(anderer argumente)
b)Schreibe die ersten drei Summanden der in a) berechneten Fourierreihe auf.
Da so eine Aufgabe zu 99% in der Klausur dran kommt, und da die in der Vorlesung nicht behandelt wurde, dachte ich mir frage ich hier.
Ich wäre euch sehr sehr dankbar!!!!
Bitte helft mir jemand, ist sehr wichtig.
danke
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 10:56 Di 01.02.2005 | | Autor: | Hanno |
Hallo maxic!
Wie sieht es mit eigenen Ansätzen aus? Was hast du dir bisher überlegt? Schau, der Tipp
> untersuche, ob sinx/4 gerade oder ungerade ist und benutze gegebenfalls die vereinfachungen, die sich daraus für die rechnung ergben.
ist doch schonmal eine Hilfe. Was trifft denn zu? Natürlich ist die Funktion ungerade, denn sie ist ja punktsymmetrisch zum Ursprung!
Was heißt das nun? Das zeig' ich dir anhand der Formeln für die Fourierkoeffizienten:
Wie du hoffentlich weißt, hat eine Fourierreihe die Form
(1) [mm] $f(x)=\frac{a_0}{2}+\summe_{n=1}^{\infty}{a_n cos(n x)+b_n sin(n x)}$
[/mm]
mit den Koeffizienten
(2) [mm] $a_n=\frac{1}{\pi}\integral_{-\pi}^{\pi} [/mm] f(x) cos(n x) dx$
und
(3) [mm] $b_n=\frac{1}{\pi}\integral_{-\pi}^{\pi} [/mm] f(x) sin(n x) dx$.
Jetzt überlegen wir uns, was es bedeutet, dass die Funktion ungerade ist. Dazu schauen wir uns zuerst die Reihendarstellung in Gleichung (1) an. Wie du siehst, wird für jedes $n$ ein Cosinus- und ein Sinusanteil addiert. Der Cosinusanteil macht es, dass die Funktion gerade wird, der Sinusanteil, dass sie ungerade wird. Wir können also vermuten, dass die [mm] $a_n$ [/mm] wegfallen. Nun schauen wir uns den Integranden in Gleichung (2) an: $f(x)$ soll [mm] $sin\left(\frac{x}{4}\right)$ [/mm] sein - eine ungerade Funktion. Multiplizieren wir eine ungerade Funktion mit einer geraden Funktion (in diesem Falle $cos(n x)$, so erhalten wir wieder eine ungerade Funktion. Integrieren wir diese ungerade Funktion nun im Intervall $[-c,c]$, berechnen also den Flächeninhalt zwischen $-c$ und $c$, so ist dieser logischerweise Null, da ja alles, was rechts positiv ist, durch die Punktspiegelung am Ursprung links negativ wird (oder umgekehrt, das spielt keine Rolle). Wenn dir das nicht klar ist, dann male dir die Sinusfunktion auf und versuche es anschaulich bei Betrachten der Fläche im oben genannten Intervall nachzuvollziehen, warum dieses Integral den Wert 0 annehmen muss. Die [mm] $a_n$ [/mm] sind also Null, wie wir schon nach Betrachtung von Gleichung (1) vermutet hatten.
Nun können wir noch etwas aus Gleichung (2) herausholen. Dort wird im Integranden die ungerade Funktion [mm] $f(x)=sin\left(\frac{x}{4}\right)$ [/mm] mit der ungeraden Funktion $sin(n x)$ multipliziert, was eine gerade Funktion ergibt. Integriert man eine gerade Funktion in einem Intervall $[-c,c]$, so entspricht der erhaltene Flächeninhalt dem doppelten Flächeninhalt nach Integration im Intervall $[0,c]$ - warum? Weil ja eine gerade Funktion achsensymmetrisch zur Y-Achse ist, der Teil rechts stimmt also mit dem Teil links überein. Somit kannst du dir das Leben vereinfachen und Gleichung (2) zu
(4) [mm] $b_n=\frac{2}{\pi}\integral_{0}^{\pi} sin\left(\frac{x}{4}\right) [/mm] sin(n x) dx$
vereinfachen.
Und nun bist du dran. An dir ist es nun, das Integral zu berechnen und so die Koeffizienten [mm] $b_n$ [/mm] zu erhalten. Diese setzt du denn in Gleichung (1) ein und erhältst die gewünschte Fourierreihe.
Viel Erfolg.
Liebe Grüße,
Hanno
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:54 Di 01.02.2005 | | Autor: | maxic |
Danke Hanno, du hast mir was Verständnis angeht sehr weitergeholfen, weil dies war bei mir das problem mit gerade und ungerade Funktionen
Wie man bn integriert, werde ich dann hoffentlich schaffen. danke
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