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Sei (H,< . , .> ) ein Hilbertraum und sei [mm] (e_{k})_{ k\in \IN} [/mm] eine Orthonormalbasis von H.Dann ist F:H [mm] \to l^{2} [/mm] , f [mm] \mapsto () _{k\in\IN} [/mm] ein isometrischer Isomorphismus.
Ich habe etwase Meinungen. Zu zeigen , ist F linear und bijektiv .
Aber wie soll ich detailliert machen .
Gruß
huanan
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Gruß!
Also, per Definition ist die Form in einem Hilbertraum bilinear, damit insbesondere linear in der ersten Komponente - und nach Definition der Vektorraumstruktur auf [mm] $l^2$ [/mm] folgt die Linearität von $F$ sofort.
Die Injektivität ist auch ganz leicht - jetzt wo man weiß, dass $F$ linear ist, muß man sich ja nur noch den Kern ansehen... was gilt denn für ein $f [mm] \in [/mm] H$ mit [mm] $\langle [/mm] f, [mm] e_k \rangle [/mm] = 0$ für jedes $k [mm] \in \IN$...?
[/mm]
Die Surjektivität ist etwas kniffliger, da mußt Du ein $f$ entsprechend konstruieren - wie genau habt ihr [mm] $l^2$ [/mm] definiert? Das sollte da eingehen.
Wenn dies alles gezeigt ist, dann weiß man schonmal, dass $F$ ein Isomorphismus ist. Damit es eine Isometrie ist, fehlt aber noch etwas - und auch dafür braucht man die Definition von [mm] $l^2$ [/mm] so wie ihr sie gemacht habt...
Viel Erfolg!
Lars
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