Hilbertraum, C[0,1] < Numerik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:46 So 10.01.2016 | | Autor: | sissile |
| Aufgabe | Wir hatten eine Bemerkung, dass
C[a,b] bezüglich <f,g>_w := [mm] \int_a^b [/mm] f(x) g(x) w(x) dx mit w positv und integrierbare Funktion auf [a,b] kein Hilbertraum sondern nur eine Teilmenge im Hilbertraum [mm] L_w^2 [/mm] ([a,b]):= [mm] \{f: [a,b]\rightarrow \mathbb{R}| \int_a^b |f(x)|^2 w(x) dx \} [/mm] ist.
Ich würde das gerne beweisen oder einen Beweis finden. |
Hallo,
Nach Google-Suche bin ich auf die Funktion
[mm] f_n(x) :=\begin{cases} 0, & \mbox{für } x\in [0,1/2 -1/n) \\ n (x-1/2)+1, & \mbox{für } x \in [1/2 - 1/n, 1/2 + 1/n]\\ 2,& \mbox{für} x \in (1/2 + 1/n,1] \end{cases}
[/mm]
für a=0, b=1 gekommen.
[mm] f_n [/mm] steigt von 1/2-1/n bis 1/2 + 1/n linear von 0 auf 2.
Nach Konstruktion ist [mm] f_n [/mm] stetig.
ZZ.: [mm] f_n [/mm] Cauchyfunktion aber nicht konvergent in C[a,b]
Frage1: Bei der punktweisen Grenzfuktion hab ich das problem, dass die Funktion gegen unendlich geht für x=1/2?
[mm] \lim_{n\rightarrow \infty} f_n(x)= \begin{cases} 0, & \mbox{für } x\in [0,1/2) \\ ??, & \mbox{für } x =1/2\\ 2,& \mbox{für} x \in (1/2 ,1] \end{cases}
[/mm]
Es sollte ja folgen, dass der Grenzwert nicht Element von C([0,1],IR) ist .
Nochzuzeigen wäre [mm] (f_n) [/mm] ist eine Cauchyfolge:
OBdA. ist n>m
[mm] ||f_n [/mm] - [mm] f_m||^2 [/mm] = [mm] \int_0^1 |f_n [/mm] - [mm] f_m (x)|^2 [/mm] w(x) dx= [mm] \int_{1/2 - 1/n}^{1/2 - 1/m} [/mm] |[n (x-1/2) [mm] +1]|^2 [/mm] w(x) dx + [mm] \int_{1/2 - 1/m}^{1/2 + 1/n} |(n-m)(x-1/2)|^2 [/mm] w(x) dx + [mm] \int_{1/2 + 1/n}^{1/2 + 1/m}|[2 [/mm] - n(x-1/2) [mm] +1]|^2 [/mm] w(x) dx
Das stecke ich etwas...
Bemerkung: Ich denke mit [mm] f(x)=x^n [/mm] funktionieren es auch als Gegenbeispiel, würde aber nun gerne erstmal mit der Funktion das Beispiel lösen!
LG,
Sissi
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:56 So 10.01.2016 | | Autor: | fred97 |
> Wir hatten eine Bemerkung, dass
> C[a,b] bezüglich <f,g>_w := [mm]\int_a^b[/mm] f(x) g(x) w(x) dx
> mit w positv und integrierbare Funktion auf [a,b] kein
> Hilbertraum sondern nur eine Teilmenge im Hilbertraum [mm]L_w^2[/mm]
> ([a,b]):= [mm]\{f: [a,b]\rightarrow \mathbb{R}| \int_a^b |f(x)|^2 w(x) dx \}[/mm]
> ist.
>
> Ich würde das gerne beweisen oder einen Beweis finden.
> Hallo,
>
> Nach Google-Suche bin ich auf die Funktion
> [mm]f_n(x) :=\begin{cases} 0, & \mbox{für } x\in [0,1/2 -1/n) \\ n (x-1/2)+1, & \mbox{für } x \in [1/2 - 1/n, 1/2 + 1/n]\\ 2,& \mbox{für} x \in (1/2 + 1/n,1] \end{cases}[/mm]
>
> für a=0, b=1 gekommen.
> [mm]f_n[/mm] steigt von 1/2-1/n bis 1/2 + 1/n linear von 0 auf 2.
> Nach Konstruktion ist [mm]f_n[/mm] stetig.
>
> ZZ.: [mm]f_n[/mm] Cauchyfunktion aber nicht konvergent in C[a,b]
> Frage1: Bei der punktweisen Grenzfuktion hab ich das
> problem, dass die Funktion gegen unendlich geht für
> x=1/2?
Hä ??? Es ist doch [mm] f_n(1/2)=1 [/mm] für jedes n.
> [mm]\lim_{n\rightarrow \infty} f_n(x)= \begin{cases} 0, & \mbox{für } x\in [0,1/2) \\ ??, & \mbox{für } x =1/2\\ 2,& \mbox{für} x \in (1/2 ,1] \end{cases}[/mm]
>
> Es sollte ja folgen, dass der Grenzwert nicht Element von
> C([0,1],IR) ist .
>
> Nochzuzeigen wäre [mm](f_n)[/mm] ist eine Cauchyfolge:
> OBdA. ist n>m
> [mm]||f_n[/mm] - [mm]f_m||^2[/mm] = [mm]\int_0^1 |f_n[/mm] - [mm]f_m (x)|^2[/mm] w(x) dx=
> [mm]\int_{1/2 - 1/n}^{1/2 - 1/m}[/mm] |[n (x-1/2) [mm]+1]|^2[/mm] w(x) dx +
> [mm]\int_{1/2 - 1/m}^{1/2 + 1/n} |(n-m)(x-1/2)|^2[/mm] w(x) dx +
> [mm]\int_{1/2 + 1/n}^{1/2 + 1/m}|[2[/mm] - n(x-1/2) [mm]+1]|^2[/mm] w(x) dx
> Das stecke ich etwas...
w ist beschränkt !!
FRED
>
>
> Bemerkung: Ich denke mit [mm]f(x)=x^n[/mm] funktionieren es auch als
> Gegenbeispiel, würde aber nun gerne erstmal mit der
> Funktion das Beispiel lösen!
> LG,
> Sissi
>
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 16:35 So 10.01.2016 | | Autor: | sissile |
Hallo Fred,
Danke für deine Antwort.
Ich habe gesehen, dass ich beim letzten Term am Schluß ein m/n vetauscht habe und ein Minus beim Einser vergessen habe.
Zu [mm] f_n [/mm] Cauchyfolge:
ObdA n >m
[mm] ||f_n [/mm] - [mm] f_m||^2 [/mm] = [mm] \int_0^1 |f_n [/mm] - [mm] f_m (x)|^2 [/mm] w(x) dx
w(x) ist als Riemannintegrierbare Funktion beschränkt, d.h. [mm] \exists K>0:\forall [/mm] x [mm] \in [/mm] (a,b): w(x)=|w(x)| [mm] \le [/mm] K
D.h. [mm] ||f_n -f_m||^2 \le [/mm] K [mm] \int_0^1 |f_n [/mm] - [mm] f_m(x)|^2 [/mm] dx = K*[ [mm] \int_{1/2 -1/n}^{1/2-1/m}|n(x-1/2) +1|^2 [/mm] dx [mm] +\int_{1/2 - 1/m}^{1/2 + 1/n}|(n-m)(x-1/2)|^2dx +\int_{1/2 + 1/n}^{1/2 + 1/m}|2- m(x-1/2)-1|^2 [/mm] dx ]
[mm] =K*[\frac{1}{3n} [/mm] (n(x-1/2) [mm] +1)^3 |_{1/2 -1/n}^{1/2-1/m} +\frac{3}{n-m} [(n-m)(x-1/2)]^3 |_{1/2 - 1/m}^{1/2 + 1/n}+\frac{3}{m}[2- m(x-1/2)-1]^3 |_{1/2 + 1/n}^{1/2 + 1/m}]
[/mm]
[mm] =K*[\frac{1}{3n} (\frac{n}{m} +1)^3 [/mm] + [mm] 3(\frac{1}{n}-\frac{1}{m})^3 [/mm] - [mm] \frac{3}{m}(1+ \frac{m}{n})^3]
[/mm]
Geschickt/Zielführend ist das wahrscheinlich nicht was ich hier mache:?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:20 Di 12.01.2016 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:57 Mo 08.02.2016 | | Autor: | sissile |
Hallo,
Ich würde die letzte Frage in dem Post gerne nochmal für eine Woche reaktivieren - da die Frage sich für mich noch nicht geklärt hat.
Wenn die Aufgabe der Cauchyfolge gelöst wäre bleibt für mich folgende Frage:
Mir ist klar dass [mm] f_n [/mm] punktweise gegen die Funktion [mm] f(x)=\begin{cases} 0, & \mbox{für } x <1/2\\ 1, & \mbox{für } x=1/2 \\ 2, & \mbox{für } x>1/2 \end{cases}\not\in [/mm] C[0,1] konvergiert
ZZ:Es gibt kein h [mm] \in [/mm] C[0,1] mit [mm] f_n \rightarrow [/mm] h [mm] (n\rightarrow \infty) [/mm] in [mm] L_2 [/mm] Norm.
Sei h ein weiterer Grenzwert von [mm] f_n, [/mm] dann gilt:
[mm] \forall \epsilon>0 \exists [/mm] N [mm] \in \mathbb{N}: \forall [/mm] n [mm] \ge [/mm] N: [mm] ||f-h||_{L^2} \le ||f-f_n||_{L^2} [/mm] + [mm] ||f_n-h||_{L^2} [/mm] < [mm] \epsilon \bigbox
[/mm]
Da die linke Seite von n unabhängig ist muss [mm] ||f-h||_{L_2}=0
[/mm]
Nun ist das problem, dass f unstetig ist also ich das Skalarprodukt auf unstetige Funktionen ausweiten müsste. Und dann ist noch das problem, dass wenn f unstetig ist aus [mm] ||f-h||_{L_2}=0 [/mm] nicht folgt f=h.
Ich könnte mir nur vorstellen [mm] 0=||f-h||_{L_2}= ||f|_{[0,1/2)} [/mm] - [mm] h|_{[0,1/2)} [/mm] +f(1/2)-h(1/2) + [mm] f|_{(1/2,1]} [/mm] - [mm] h|_{(1/2,1]}||_{L_2} \le ||f|_{[0,1/2)} [/mm] - [mm] h|_{[0,1/2)} ||_{L_2} [/mm] + [mm] ||f(1/2)-h(1/2)||_{L_2} [/mm] + || [mm] f|_{(1/2,1]} [/mm] - [mm] h|_{(1/2,1]}||_{L_2}
[/mm]
Mhm?
LG,
sissi
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Hiho,
ich glaube du gehst das alles zu kompliziert an.
Erstmal:
> Nun ist das problem, dass f unstetig ist also ich das Skalarprodukt auf unstetige Funktionen ausweiten müsste.
Eigentlich gibt es da nichts zu "erweitern". Der [mm] $L^2$-Raum [/mm] hat ja formal erstmal nichts mit Stetigkeit zu tun, sondern sind einfach alle quadratintegrierbaren Funktionen.
Nun schränkst du mit deiner Aufgabe das Skalarprodukt ja auf den Raum der stetigen Funktionen ein.
Aber: Deine Grenzwertbetrachtungen kannst du weiterhin im allgemeinen [mm] $L^2$-Raum [/mm] betrachten, in dem weiterhin Dinge wie Vollständigkeit und Eindeutigkeit des Grenzwerts gegeben sind (wobei Eindeutigkeit im [mm] $L^2$-Sinne [/mm] gemeint ist)
D.h. deine ganzen Überlegungen gehen viel simpler:
1.) In deinem Beispiel gilt [mm] $f_n \to [/mm] f$ in [mm] $L^2[0,1]$. [/mm] Aufgrund der Eindeutigkeit des Grenzwerts ist f eindeutig bestimmt, da aber [mm] $f\not\in [/mm] C[0,1]$ ist $C[0,1]$ nicht vollständig.
2.) Insbesondere gilt auch in [mm] L^2: $f_n$ [/mm] konvergiert [mm] $\gdw$ f_n [/mm] Cauchy-Folge.
Damit ist [mm] f_n [/mm] Cauchy-Folge in [mm] L^2 [/mm] und damit auch in $C[0,1]$
Gruß,
Gono
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