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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 10:22 Mi 04.06.2008 | | Autor: | MatzeI |
Hallo,
ich weiß, dass für eine graduierte k-Algebra $A$ mit [mm] $A=\bigoplus_{n \geq 0} A_{n}$ [/mm] die Hilbertreihe definiert ist durch:
[mm] $H(A:k)=\sum_{n\geq 0}dim_{k}A_{n}\cdot t^{n}$,
[/mm]
aber ich habe keine Ahnung wozu das da ist.
Was berechne ich damit denn?
Wofür braucht man das?
Grüße Matze
Ich habe diese Frage in keinem anderen Internetforum gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 09:26 Di 10.06.2008 | | Autor: | felixf |
Hallo Matze
> ich weiß, dass für eine graduierte k-Algebra [mm]A[/mm] mit
> [mm]A=\bigoplus_{n \geq 0} A_{n}[/mm] die Hilbertreihe definiert ist
> durch:
>
> [mm]H(A:k)=\sum_{n\geq 0}dim_{k}A_{n}\cdot t^{n}[/mm],
>
> aber ich habe keine Ahnung wozu das da ist.
> Was berechne ich damit denn?
> Wofür braucht man das?
Die Hilbertreihe ist eine Invariante der Algebra $A$ (insbesondere bleibt sie unter Isomorphie erhalten). Allgemein betrachtet man Invarianten, um mit ihnen Objekte zu klassifizieren oder zumindest Eigenschaften der Objekte mit Hilfe der Invarianten zu beschreiben. Ein Beispiel fuer eine solche Invariante ist die Dimension eines Vektorraums, oder die Laenge einer Basis einer freien Algebra. Oder halt die Hilbertreihe einer Algebra.
LG Felix
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:56 Mi 25.06.2008 | | Autor: | MatzeI |
Hallo Felix,
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> Die Hilbertreihe ist eine Invariante der Algebra [mm]A[/mm]
> (insbesondere bleibt sie unter Isomorphie erhalten).
> Allgemein betrachtet man Invarianten, um mit ihnen Objekte
> zu klassifizieren oder zumindest Eigenschaften der Objekte
> mit Hilfe der Invarianten zu beschreiben. Ein Beispiel fuer
> eine solche Invariante ist die Dimension eines Vektorraums,
> oder die Laenge einer Basis einer freien Algebra. Oder halt
> die Hilbertreihe einer Algebra.
>
Ich habe mir deine Antwort ein paar mal durch den Kopf gehen lassen und doch noch ein paar Fragen dazu...
Du erwähnst hier als Beispiel für eine Invariante die Länge der Basis einer freien Algebra. Gibt es denn einen Zusammenhang zwischen der Hilbertreihe einer freien Algebra und der Länge ihrer Basis?
Wofür steht die Variable t in der Hilbertreihe? Was kann ich dafür einsetzen?
Grüße Matze
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:16 Mi 25.06.2008 | | Autor: | felixf |
Hallo Matze
> > Die Hilbertreihe ist eine Invariante der Algebra [mm]A[/mm]
> > (insbesondere bleibt sie unter Isomorphie erhalten).
> > Allgemein betrachtet man Invarianten, um mit ihnen Objekte
> > zu klassifizieren oder zumindest Eigenschaften der Objekte
> > mit Hilfe der Invarianten zu beschreiben. Ein Beispiel fuer
> > eine solche Invariante ist die Dimension eines Vektorraums,
> > oder die Laenge einer Basis einer freien Algebra. Oder halt
> > die Hilbertreihe einer Algebra.
> >
> Ich habe mir deine Antwort ein paar mal durch den Kopf
> gehen lassen und doch noch ein paar Fragen dazu...
> Du erwähnst hier als Beispiel für eine Invariante die
> Länge der Basis einer freien Algebra. Gibt es denn einen
> Zusammenhang zwischen der Hilbertreihe einer freien Algebra
> und der Länge ihrer Basis?
Keine Ahnung. Ich hab noch nie mit solchen Hilbertreihen gearbeitet.
> Wofür steht die Variable t in der Hilbertreihe? Was kann
> ich dafür einsetzen?
Im Prinzip ist es erstmal ein formaler Parameter. Es ist nichtmals klar ob die Reihe einen positiven Konvergenzradius besitzt. Und selbst wenn, tut man meist nichts konkretes einsetzen, es interessiert eher die Reihe als solche.
(Solche Reihen heissen uebrigens auch erzeugende Funktionen bzw. generating functions.)
Eventuell sagt der Konvergenzradius auch etwas ueber die Algebra aus. Nehmen wir dochmal ein Beispiel: $A = k[x]$. Dann ist $H(A : k) = [mm] \sum_{n=0}^\infty t^n [/mm] = [mm] \frac{1}{1 - t}$. [/mm] Die Reihe hat also Konvergenzradius 1 und ist `in Wirklichkeit' eine rationale Funktion.
Mal ein weiteres Beispiel, $A = k[x, y]$. Dann ist $H(A : k) = [mm] \sum_{n=0}^\infty [/mm] (n + 1) [mm] t^n [/mm] = [mm] \left( \sum_{n=0}^\infty t^{n+1} \right)' [/mm] = [mm] \left( \sum_{n=0}^\infty t^n - 1 \right)' [/mm] = [mm] \left( \frac{1}{1 - t} - 1 \right)' [/mm] = [mm] \frac{1}{(1 - t)^2}$. [/mm] Die Reihe hat also Konvergenzradius 1 und ist `in Wirklichkeit' eine rationale Funktion.
Ein drittes Beispiel, $A = k[x, y, z]$. Dann ist $H(A : k) = [mm] \sum_{n=0}^\infty \binom{n + 2}{2} t^n [/mm] = [mm] \frac{1}{2!} \left( \sum_{n=2}^\infty t^n \right)^{(2)} [/mm] = [mm] \frac{1}{2!} \left( \frac{1}{1 - t} - 1 - t \right)^{(2)} [/mm] = [mm] \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{(1 - t)^3}$. [/mm] Die Reihe hat also Konvergenzradius 1 und ist `in Wirklichkeit' eine rationale Funktion. Und genauso kannst du allgemeiner fortfahren.
In dem Fall, dass $A$ ein Polynomring in $n$ Unbestimmten ist, dann ist $H(A : k)$ eine rationale Funktion mit Konvergenzradius 1 und einem $n + 1$-fachem Pol in $t = 1$.
Kannst ja mal versuchen die Hilbertreihe fuer $A = [mm] k[x_1, \dots, x_n] [/mm] / (f)$ zu bestimmen, wobei $f$ ein homogenes Polynom von Grad $k$ ist.
LG Felix
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